次の問いに答えよ.
(1) 定積分 \[ \displaystyle\int _ 0^{\log 3} \dfrac{dx}{e^x +5 e^{-x} -2} \] を求めよ.
(2) \(x \gt 0\) のとき, 不等式 \[ \log x \geqq \dfrac{5x^2 -4x -1}{2x (x+2)} \] が成り立つことを示せ.
【 解 答 】
(1)
求める積分値を \(I\) とおくと \[\begin{align} I & = \displaystyle\int _ 0^{\log 3} \dfrac{e^x}{e^{2x} -2 e^x +5} \, dx \\ & = \displaystyle\int _ 0^{\log 3} \dfrac{( e^x -1 )'}{( e^x -1 )^2 +4} \, dx \end{align}\] ここで, \(2 \tan \theta = e^x -1 \ \left( -\dfrac{\pi}{2} \lt \theta \lt \dfrac{\pi}{2} \right)\) とおけば \[\begin{gather} \dfrac{2}{\cos^2 \theta} \, d \theta = e^x \, dx , \\ \begin{array}{c|ccc} x & 0 & \rightarrow & \log 3 \\ \hline \theta & 0 & \rightarrow & \dfrac{\pi}{4} \end{array} \end{gather}\] よって \[\begin{align} I & = \displaystyle\int _ 0^{\frac{\pi}{4}} \dfrac{1}{4 ( \tan^2 \theta +1 )} \cdot \dfrac{2}{\cos^2 \theta} \, d \theta \\ & = \dfrac{1}{2} \big[ \theta \big] _ 0^{\frac{\pi}{4}} = \underline{\dfrac{\pi}{8}} \end{align}\]
(2)
\(f(x) = \log x -\dfrac{5x^2 -4x -1}{2x (x+2)}\) とおくと \[\begin{align} f'(x) & = \dfrac{1}{x} -\dfrac{(10x-4) x (x+2) -( 5x^2 -4x -1 ) (2x+2)}{2 x^2 (x+2)^2} \\ & = \dfrac{x (x+2)^2 -( 5x^3 +8x^2 -4x ) +( 5x^3 +x^2 -5x -1 )}{x^2 (x+2)^2} \\ & = \dfrac{x^3 -3x^2 +3x -1}{x^2 (x+2)^2} \\ & = \dfrac{(x-1)^3}{x^2 (x+2)^2} \end{align}\] したがって, \(x \gt 0\) における \(f(x)\) の増減は下表のとおり. \[ \begin{array}{c|cccc} x & (0) & \cdots & 1 & \cdots \\ \hline f'(x) & & - & 0 & + \\ \hline f(x) & & \searrow & \text{最小} & \nearrow \end{array} \] よって \[ f(x) \geqq f(1) = 0 \] なので, 題意は示された.