点 O を中心とする半径 \(1\) の円に内接する三角形 ABC があり, \[ 2 \overrightarrow{\text{OA}} +3 \overrightarrow{\text{OB}} +4 \overrightarrow{\text{OC}} = \overrightarrow{0} \] をみたしている. この円上に点 P があり, 線分 AB と線分 CP は直交している. 次の問いに答えよ.
(1) 内積 \(\overrightarrow{\text{OA}} \cdot \overrightarrow{\text{OB}}\) と \(\left| \overrightarrow{\text{AB}} \right|\) をそれぞれ求めよ.
(2) 線分 AB と線分 CP の交点を H とするとき, \(\text{AH} : \text{HB}\) を求めよ.
(3) 四角形 APBC の面積を求めよ.
【 解 答 】
(1)
\(\overrightarrow{a} = \overrightarrow{\text{OA}}\) , \(\overrightarrow{b} = \overrightarrow{\text{OB}}\) とおくと \[ \overrightarrow{\text{OC}} = -\dfrac{1}{2} \overrightarrow{a} -\dfrac{3}{4} \overrightarrow{b} \] 条件より, \(\left| \overrightarrow{a} \right| = \left| \overrightarrow{b} \right| = \left| \overrightarrow{\text{OC}} \right| = 1\) なので \[\begin{align} \left| \overrightarrow{\text{OC}} \right|^2 & = \dfrac{1}{4} \left| \overrightarrow{a} \right|^2 +\dfrac{3}{4} \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} +\dfrac{9}{16} \left| \overrightarrow{b} \right|^2 \\ & = \dfrac{13}{16} +\dfrac{3}{4} \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 1 \\ \text{∴} \quad & \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = \underline{\dfrac{1}{4}} \end{align}\] また \[\begin{align} \left| \overrightarrow{\text{AB}} \right| & = \left| \overrightarrow{b} -\overrightarrow{a} \right| \\ & = \sqrt{1 -2 \cdot \dfrac{1}{4} +1} \\ & = \underline{\dfrac{\sqrt{6}}{2}} \end{align}\]
(2)
\(\overrightarrow{\text{OH}} = t \overrightarrow{a} +(1-t) \overrightarrow{b} \quad ( 0 \lt t \lt 1 )\) とおける.
\[\begin{align}
\overrightarrow{\text{CH}} & = \overrightarrow{\text{OH}} -\overrightarrow{\text{OC}} \\
& = \left( t +\dfrac{1}{2} \right) \overrightarrow{a} +\left( \dfrac{7}{4} -t \right) \overrightarrow{b}
\end{align}\]
AB の中点を M とおけば \(\overrightarrow{\text{OM}} = \dfrac{\overrightarrow{a} +\overrightarrow{b}}{2}\) であり, \(\overrightarrow{\text{CH}} / \hspace{-0.3em} / \overrightarrow{\text{OM}}\) なので
\[\begin{align}
t +\dfrac{1}{2} & = \dfrac{7}{4} -t \\
\text{∴} \quad t & = \dfrac{5}{8}
\end{align}\]
よって
\[
\overrightarrow{\text{OH}} = \dfrac{5}{8} \overrightarrow{a} +\dfrac{3}{8} \overrightarrow{b}
\]
であり
\[
\text{AH} : \text{HB} = \underline{3 : 5}
\]
(3)
\[\begin{align} \text{AH} & = \dfrac{3}{8} \text{AB} = \dfrac{3 \sqrt{6}}{16} , \\ \text{HB} & = \dfrac{5}{8} \text{AB} = \dfrac{5 \sqrt{6}}{16} \end{align}\] また, \(\overrightarrow{\text{CH}} = \dfrac{9}{8} \left( \overrightarrow{a} +\overrightarrow{b} \right)\) なので \[ \text{CH} = \dfrac{9}{8} \sqrt{1 +2 \cdot \dfrac{1}{4} +1} = \dfrac{9 \sqrt{10}}{16} \] したがって, 方べきの定理より \[\begin{align} \text{HP} & = \dfrac{\text{AH} \cdot \text{HB}}{\text{CH}} \\ & = \dfrac{1}{16} \cdot \dfrac{90}{9 \sqrt{10}} = \dfrac{\sqrt{10}}{16} \end{align}\] よって, 求める面積 \(S\) は \[\begin{align} S & = \dfrac{1}{2} \cdot \text{AB} \cdot \text{CP} \\ & = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{\sqrt{6}}{2} \cdot \dfrac{5 \sqrt{10}}{8} \\ & = \underline{\dfrac{5 \sqrt{15}}{16}} \end{align}\]