実数 \(a\) に対し, \(xy\) 平面上の放物線 \(C : \ y = (x-a)^2 -2a^2 +1\) を考える. 次の問いに答えよ.
(1) \(a\) がすべての実数を動くとき, \(C\) が通過する領域を求め, 図示せよ.
(2) \(a\) が \(-1 \leqq a \leqq 1\) の範囲を動くとき, \(C\) が通過する領域を求め, 図示せよ.
【 解 答 】
(1)
\(C\) の式を変形すると \[ a^2 +2xa +y -x^2 -1 = 0 \] この \(a\) の \(2\) 次方程式が実数解をもつ条件を求めればよいので, 判別式 \(D\) について \[\begin{align} \dfrac{D}{4} & = x^2 -( y -x^2 -1 ) \geqq 0 \\ \text{∴} \quad & y \leqq 2x^2 +1 \end{align}\] よって, 求める領域は下図斜線部（境界含む）.
(2)
\(C\) の式を変形すると
\[\begin{align}
y & = -a^2 -2xa +x^2 +1 \\
& = -(a+x)^2 +2x^2 +1
\end{align}\]
これを \(a\) の関数とみなして \(f(a)\) とおく.
\(x = k\) における \(f(a)\) の最大値, 最小値をそれぞれ \(M(a) , m(a)\) とおくと, 求める領域は
\[
m(a) \leqq y \leqq M(a)
\]
と表せる.
\(-1 \leqq a \leqq 1\) に注意すれば, \(M(a) , m(a)\) の候補は
\[\begin{align}
f(-1) & = x^2 +2x , \quad f(1) = x^2 -2x , \\
f( -a ) & = 2x^2 +1 \ \left( -1 \leqq a \leqq 1 \ \text{のとき} , M(a) \ \text{のみ} \right)
\end{align}\]
これらの大小を比較すれば, 求める領域は
\[
\left\{ \begin{array}{ll} x^2 +2x \leqq y \leqq x^2 -2x & ( \ x \leqq -1 \ \text{のとき} ) \\ x^2 +2x \leqq y \leqq 2 x^2 +1 & ( \ -1 \lt x \leqq 0 \ \text{のとき} ) \\ x^2 -2x \leqq y \leqq 2 x^2 +1 & ( \ 0 \lt x \leqq 1 \ \text{のとき} ) \\ x^2 -2x \leqq y \leqq x^2 +2x & ( \ x \gt 1 \ \text{のとき} ) \end{array} \right.
\]
であり, 図示すれば下図斜線部（境界含む）.
