自然数を \(2\) 個以上の連続する自然数の和で表すことを考える. たとえば, \(42\) は \(3 +4 + \cdots +9\) のように \(2\) 個以上の連続する自然数の和で表せる. 次の問いに答えよ.
(1) \(2020\) を \(2\) 個以上の連続する自然数の和で表す表し方をすべて求めよ.
(2) \(a\) を \(0\) 以上の整数とするとき, \(2^a\) は \(2\) 個以上の連続する自然数の和で表せないことを示せ.
(3) \(a , b\) を自然数とするとき, \(2^a (2b+1)\) は \(2\) 個以上の連続する自然数の和で表せることを示せ.
【 解 答 】
(1)
自然数 \(N\) が, \(m \ ( m \geqq 1 )\) で始まる \(k \ (k \geqq 2)\) 個の自然数の和で表せる条件を考える.
\[\begin{align}
N & = m +(m+1) + \cdots +(m+k-1) \\
& = \dfrac{k ( 2m+k-1 )}{2}
\end{align}\]
なので
\[
2N = k ( 2m+k-1 ) \quad ... [1]
\]
ここで, 「 \(k\) と \(2m+k-1\) は奇偶が異なる 」... [2] .
また, \(m \geqq 1\) , \(k \geqq 2\) なので
\[\begin{align}
2N & \geqq k (k+1) \gt k^2 \\
\text{∴} & \quad 2 \leqq k \lt \sqrt{2N} \quad ... [3]
\end{align}\]
[2] [3] に注意して, [1] をみたす \(k , m\) を求めればよい.
\(N = 2020\) のとき
\[
2N = 2^3 \cdot 5 \cdot 101 , \ 31 \lt \sqrt{2N} = 2 \sqrt{1010} \lt 32
\]
なので, \(k\) の候補は
\[
k = 5 , 8 , 40
\]
- \(k = 5\) のとき
\[\begin{align}
2m +4 &= 808 \\
\text{∴} \quad m & = 402
\end{align}\]
- \(k = 8\) のとき
\[\begin{align}
2m +7 &= 505 \\
\text{∴} \quad m & = 299
\end{align}\]
- \(k = 40\) のとき
\[\begin{align}
2m +39 &= 101 \\
\text{∴} \quad m & = 31
\end{align}\]
よって, 求める表し方は, 以下の \(3\) 通り.
\[
2020 = \underline{\left\{ \begin{array}{l}402 +403 +\cdots +406 \\ 299 +300 +\cdots +306 \\ 31 +32 +\cdots +70 \end{array} \right.}
\]
(2)
\(N = 2^a\) のとき, [1] より
\[
2^{a+1} = k ( 2m +k -1 )
\]
[2] より, \(k = 1\) だけが候補であるが, [3] をみたさず不適.
よって, 題意は示された.
(3)
\(N = 2^a (2b+1)\) のとき, [1] より
\[
2^{a+1} (2b+1) = k ( 2m +k -1 )
\]
[2] [3] に注意すれば, これをみたす \(k , m\) の組として
\[
( k , m ) = ( 2b+1 , 2^a -b )
\]
が存在する.
よって, 題意は示された.