\(a , b , c\) を相異なる正の実数とするとき, 以下の各問いに答えよ.
(1) 次の \(2\) 数の大小を比較せよ. \[ a^3+b^3 , \ a^2b+b^2a \]
(2) 次の \(4\) 数の大小を比較せよ. \[\begin{align} & ( a+b+c ) ( a^2+b^2+c^2 ) , \ ( a+b+c ) ( ab+bc+ca ) , \\ & 3 ( a^3+b^3+c^3 ) , \ 9abc \end{align}\]
(3) \(x , y , z\) を正の実数とするとき \[ \dfrac{y+z}{x} +\dfrac{z+x}{y} +\dfrac{x+y}{z} \] のとりうる値の範囲を求めよ.
【 解 答 】
(1)
\[\begin{align} a^3+b^3 & -( a^2b+b^2a ) \\ & = a^2( a-b ) -b^2( a-b ) \\ & = ( a-b )^2( a+b ) \gt 0 \quad ( \ \text{∵} \ a-b \neq 0 , \ a+b \gt 0 ) \end{align}\] ゆえに \[ \underline{a^3+b^3 \gt a^2b+b^2a} \]
(2)
\(A = ( a+b+c ) ( a^2+b^2+c^2 )\) , \(B = ( a+b+c ) ( ab+bc+ca )\) , \(C = 3 ( a^3+b^3+c^3 )\) , \(D = 9abc\) とおく.
\(C\) と \(A\) の大小を比較すると
\[\begin{align}
C -A & = 2 \left( a^3+b^3+c^3 \right) -a^2b -a^2c -b^2a -b^2c -c^2a -c^2b \\
& = \left( a^3 +b^3 -a^2b -b^2a \right) +\left( b^3 +c^3 -b^2c -c^2b \right) \\
& \qquad +\left( c^3 +a^3 -c^2a -a^2c \right) \gt 0 \quad ( \ \text{∵} \ \text{(1)の結果} ) \\
& \text{∴} \quad C \gt A \quad ... [1]
\end{align}\]
\(A\) と \(B\) の大小を比較すると
\[\begin{align}
A -B & = ( a+b+c ) \left( a^2+b^2+c^2 -ab -bc -ca \right) \\
& = \dfrac{1}{2} ( a+b+c ) \left\{ ( a-b )^2 +( b-c )^2 +( c-a )^2 \right\} \\
& \gt 0 \quad ( \ \text{∵} \ a-b, b-c, c-a \neq 0 , \ a+b+c \gt 0\ ) \\
& \text{∴} \quad A \gt B \quad ... [2]
\end{align}\]
\(B\) と \(D\) の大小を比較すると
\[\begin{align}
B -D & = ab( a+b ) +bc( b+c ) +ca( c+a ) -6abc \\
& = a( b^2 +c-2 -2bc ) +b( c^2 +a^2 -2ca ) + c( a^2 +b^2 -2ab ) \\
& = a( b-c )^2 +b( c-a )^2 +c( a-b )^2 \\
& \gt 0 \quad ( \ \text{∵} \ a-b, b-c, c-a \neq 0 , \ a, b, c \gt 0\ ) \\
& \text{∴} \quad B \gt D \quad ... [3]
\end{align}\]
[1] ～ [3] より
\[\begin{align}
& \underline{3 ( a^3+b^3+c^3 ) \gt ( a+b+c ) ( a^2+b^2+c^2 )} \\
& \qquad \underline{\gt ( a+b+c ) ( ab+bc+ca ) \gt 9abc}
\end{align}\]
(3)
\[\begin{align} \dfrac{y+z}{x} & + \dfrac{z+x}{y} + \dfrac{x+y}{z} \\ & = \dfrac{yz( y+z ) +zx( z+x ) + xy( x+y )}{xyz} \\ & = \dfrac{( x+y+z )( xy+yz+zx )}{xyz} -3 \quad ... [4] \end{align}\]
(2) における [3] を導く過程を用いれば, \((x-y)^2, (y-z)^2, (z-x)^2 \geqq 0 , x, y, z \geqq 0\) なので \[\begin{align} ( x+y+z )( xy+yz+zx ) & \geqq xyz \\ \dfrac{( x+y+z )( xy+yz+zx )}{xyz} -3 & \geqq 6 \\ \underline{\dfrac{y+z}{x} + \dfrac{z+x}{y} + \dfrac{x+y}{z} \geqq 6} & \quad ( \ \text{∵} \ [4] \ ) \end{align}\] 等号成立は, \(x=y=z\) のとき.