整数 \(x , y\) が \(x^2 -2y^2 = 1\) をみたすとき, 次の問に答えよ.
(1) 整数 \(a , b , u , v\) が \(( a +b \sqrt{2} ) ( x +y \sqrt{2} ) = u +v \sqrt{2}\) をみたすとき, \(u , v\) を \(a , b , x , y\) で表せ. さらに \(a^2 -2b^2 = 1\) のときの \(u^2 -2v^2\) の値を求めよ. ともに答のみでよい.
(2) \(1 \lt x +y \sqrt{2} \leqq 3 +2 \sqrt{2}\) のとき, \(x = 3 , \ y = 2\) となることを示せ.
(3) 自然数 \(n\) に対して, \(( 3 +2 \sqrt{2} )^{n-1} \lt x +y \sqrt{2} \leqq ( 3 +2 \sqrt{2} )^n\) のとき, \(x +y \sqrt{2} = ( 3 +2 \sqrt{2} )^n\) を示せ.
【 解 答 】
(1)
\[ ( a +b \sqrt{2} ) ( x +y \sqrt{2} ) = ax +2by +( ay +bx ) \sqrt{2} \] なので \[ u = \underline{ax +2by} , \ v = \underline{ay +bx} \] これを用いれば \[\begin{align} u^2 -2v^2 & = ( ax +2by )^2 -2 ( ay +bx )^2 \\ & = a^2 x^2 +4 b^2 y^2 -2 a^2 y^2 -2 b^2 x^2 \\ & = ( a^2 -2b^2 ) ( x^2 -2y^2 ) \\ & = 1 \cdot 1 = \underline{1} \end{align}\]
(2)
与えられた条件を変形すると
\[
-\dfrac{x}{\sqrt{2}} +\dfrac{1}{\sqrt{2}} \lt y \leqq -\dfrac{x}{\sqrt{2}} +\dfrac{3}{\sqrt{2}} +2
\]
この領域 \(R\) に含まれる格子点について考えればよい.
\(R\) は, 傾き \(-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\) で, それぞれ点 \(( 1 , 0 )\) , \(( 3 , 2 )\) を通る直線 \(\ell _ 1 , \ell _ 2\) に挟まれた領域である（ただし, \(\ell _ 1\) 上の点は含まない）.
双曲線 \(C : \ x^2 -2y^2 = 1\) の漸近線が \(y = \pm \dfrac{x}{\sqrt{2}}\) であることに注意すれば, \(C\) と \(R\) は下図のようになるので
\(R\) に含まれる格子点は, 点 \(( 3 , 2 )\) のみであり, 題意は示された.
(3)
- [A] ... 「 \(( 3 +2 \sqrt{2} )^{n-1} \lt x +y \sqrt{2} \leqq ( 3 +2 \sqrt{2} )^n\) のとき, \(x +y \sqrt{2} = ( 3 +2 \sqrt{2} )^n\) 」
が, すべての自然数 \(n\) について成立することを, 数学的帰納法を用いて示す.
1* \(n = 1\) のとき
(2) の結果より, [A] が成立する.2* \(n = k\) のとき, [A] が成立する, すなわち,
「 \(( 3 +2 \sqrt{2} )^{k-1} \lt x +y \sqrt{2} \leqq ( 3 +2 \sqrt{2} )^k\) ... [1] のとき, \(x +y \sqrt{2} = ( 3 +2 \sqrt{2} )^k\) 」と仮定する.
[1] の辺々に \(3 +2 \sqrt{2}\) を掛ければ, \(n = k+1\) のとき, \(x +y \sqrt{2} = ( 3 +2 \sqrt{2} )^{k+1}\) ... [2] は \[ ( 3 +2 \sqrt{2} )^k \lt x +y \sqrt{2} \leqq ( 3 +2 \sqrt{2} )^{k+1} \quad ... [3] \] をみたす解のひとつである.
次に, [2] 以外に [3] をみたす解 \(x' +y' \sqrt{2}\) （ \(x' , y'\) は整数）が存在すると仮定する.
\(( 3 +2 \sqrt{2} ) ( 3 -2 \sqrt{2} ) = 1\) に注意すれば, [3] の辺々に \(3 -2 \sqrt{2}\) をかけると \[ ( 3 +2 \sqrt{2} )^{k-1} \lt \underline{( 3 -2 \sqrt{2} ) ( x' +y' \sqrt{2} ) } _ {[4]} \leqq ( 3 +2 \sqrt{2} )^k \] ここで, \([4] \neq ( 3 +2 \sqrt{2} )^k\) であるが, これは, \(n = k\) のときに [A] が成立するとした仮定に矛盾する.
したがって, [2] は [3] の唯一の解であり, \(n = k+1\) のときも [A] が成立する.
以上より, 題意は示された.