\(a , b\) を実数とし, \[ f(x) = x^2 +ax +1 , \quad g(x) = -x^2 -bx +1 \] とおく. 次の問に答えよ.
(1) 方程式 \(f(x) = 0\) と \(g(x) = 0\) が共通の解を持つための \(a , b\) の条件を求めよ.
(2) \(a \geqq 0\) , \(b \geqq 0\) の範囲で, (1) で求めた条件をみたしながら \(a , b\) を動かす. \(f(x) = 0\) と \(g(x) = 0\) の共通解を \(\alpha\) とし, \(y = f(x)\) のグラフ上の点 \(( \alpha , 0 )\) における接線を \(\ell\) とする. このとき, \(y = g(x)\) のグラフと \(\ell\) で囲まれる部分の面積の最小値を求めよ.
【 解 答 】
共通解を \(\alpha\) とおけば \[\begin{align} {\alpha}^2 +a \alpha +1 & = 0 \quad ... [1] \\ -{\alpha}^2 -b \alpha +1 & = 0 \end{align}\] 辺々を加えると \[ (a-b) \alpha +2 = 0 \] ここから \(a-b \neq 0\) なので \[ \alpha = -\dfrac{2}{a-b} \quad ... [2] \] [1] に代入すると \[\begin{align} 4 -2a (a-b) +(a-b)^2 & = 0 \\ 4 -a^2 +b^2 & = 0 \\ \text{∴} \quad \underline{a^2 -b^2 = 4} \end{align}\]
(2)
\(f(x) = 0\) , \(g(x) = 0\) の \(\alpha\) 以外の解をそれぞれ \(\beta , \gamma\) とおくと, 解と係数の関係より \[\begin{align} \alpha +\beta & = -a , \ \alpha \beta = 1 , \\ \alpha +\gamma & = -b , \ \alpha \gamma = -1 \end{align}\] したがって, \(\alpha \neq 0\) なので \[\begin{align} a & = -\alpha -\dfrac{1}{\alpha} = -\dfrac{1 +{\alpha}^2}{\alpha} \quad ... [3] , \\ b & = -\alpha +\dfrac{1}{\alpha} = \dfrac{1 -{\alpha}^2}{\alpha} \quad ... [4] \end{align}\] \(a \geqq 0\) , \(b \geqq 0\) に注意すると, [4] より, \(1 +{\alpha}^2 \gt 0\) なので \[ \alpha \lt 0 \] さらに, [4] より \[\begin{align} 1 -{\alpha}^2 & \leqq 0 \\ \text{∴} \quad \alpha & \leqq -1 \quad ... [5] \end{align}\] \(f'(x) = 2x +a\) なので, \(\ell\) の式は \[\begin{align} y & = ( 2 \alpha +a ) ( x -\alpha ) +{\alpha}^2 +a \alpha +1 \\ & = \left( \alpha -\dfrac{1}{\alpha} \right) x -{\alpha}^2 +1 \end{align}\] これと \(y = g(x)\) から \(y\) を消去すると \[\begin{align} -x^2 +\left( \alpha -\dfrac{1}{\alpha} \right) x +1 & = \left( \alpha -\dfrac{1}{\alpha} \right) x -{\alpha}^2 +1 \\ x^2 -{\alpha}^2 & = 0 \\ \text{∴} \quad x & = \pm \alpha \end{align}\] したがって, \(y = g(x)\) と \(\ell\) で囲まれる部分の面積 \(S\) は \[\begin{align} S & = \displaystyle\int _ {\alpha}^{-\alpha} \left\{ g(x) -\left( \alpha -\dfrac{1}{\alpha} \right) x -{\alpha}^2 +1 \right\} \, dx \\ & = -\displaystyle\int _ {\alpha}^{-\alpha} ( x -\alpha ) ( x +\alpha ) \, dx \\ & = -\dfrac{1}{6} \cdot ( 2 \alpha )^3 \\ & = -\dfrac{4 {\alpha}^3}{3} \geqq \dfrac{4}{3} \quad \quad ( \ \text{∵} \ [5] \ ) \end{align}\] よって, 求める最小値は \[ \underline{\dfrac{4}{3}} \]