座標平面上の原点を O とする. 点 A \(( a , 0 )\) , 点 B \(( 0 , b )\) および点 C が \[ \text{OC} = 1 , \quad \text{AB} = \text{BC} = \text{CA} \] を満たしながら動く.
(1) \(s = a^2 +b^2\) , \(t = ab\) とする. \(s\) と \(t\) の関係を表す等式を求めよ.
(2) \(\triangle \text{ABC}\) の面積のとりうる値の範囲を求めよ.
【 解 答 】
(1)
C \(( u , v )\) とおくと, 条件より \[\begin{align} u^2 +v^2 & = 1 \quad ... [1] \\ \text{AB} & = a^2 +b^2 \end{align}\] また \(\text{AB} = \text{BC}\) なので \[\begin{align} \text{BC} = u^2 +( v-b )^2 & = a^2 +b^2 \\ 1 -2bv & = a^2 \quad ( \text{∵} \ [1] ) \end{align}\] - \(b = 0\) のとき \[ a = \pm 1 \] - \(b \neq 0\) のとき \[ v = \dfrac{a^2 +1}{2b} \quad ... [2] \] \(\text{AB} = \text{CA}\) についても同様に考えれば
\(a = 0\) のとき \[ b = \pm 1 \]
\(a \neq 0\) のとき \[ u = \dfrac{b^2 +1}{2a} \quad ... [3] \] \(a \neq 0 , \ b \neq 0 \ ... [4]\) の場合を考えれば, [1] に [2] [3] を代入して \[\begin{align} \dfrac{( b^2 +1 )^2}{4a^2} +\dfrac{( a^2 +1 )^2}{4b^2} & = 1 \\ b^6 -2b^4 +b^2 +a^6 -2a^4 +a^2 & = 4a^2 b^2 \\ ( a^2 +b^2 )^3 -3a^2 b^2 ( a^2 +b^2 ) \qquad \qquad & \\ -2 ( a^2 +b^2 )^2 +a^2 +b^2 & = 0 \\ s ( s^2 -3t^2 -2s +1 ) & = 0 \\ \end{align}\] [4] より \(s \neq 0\) なので \[\begin{align} s^2 -3t^2 -2s +1 & = 0 \\ (s-1)^2 -3t^2 & = 0 \\ \left( s-1 +\sqrt{3} t \right) \left( s-1 -\sqrt{3} t \right) & = 0 \\ \text{∴} \quad s = 1 \pm \sqrt{3} t \quad & ... [5] \end{align}\] \(a = 0\) または \(b = 0\) の場合も, \(s = 1\) , \(t = 0\) なので [5] を満たす.
よって \[ \underline{s = 1 \pm \sqrt{3} t} \]
(2)
△ ABC の面積を \(S\) とおくと \[ S = \dfrac{\sqrt{3}}{4} ( a^2 +b^2 ) = \dfrac{\sqrt{3} s}{4} \quad ... [6] \] \(u = a+b\) とおくと, (1) の結果より \[\begin{align} u^2 -2t & = 1 \pm \sqrt{3} t \\ \text{∴} \quad u^2 & = \left( 2 \pm \sqrt{3} \right) t +1 \quad ... [7] \end{align}\] \(a , b\) は, \(X\) に関する方程式 \(X^2 -uX +t = 0\) の実数解なので, 判別式 \(D\) について \[ D = u^2 -4t \geqq 0 \] [7] を代入すれば \[\begin{align} \left( 2 \pm \sqrt{3} \right) t +1 -4t & \geqq 0 \\ \left( 2 \mp \sqrt{3} \right) t & \leqq 1 \\ \text{∴} \quad t \leqq 2 & \pm \sqrt{3} \end{align}\] したがって, (1) の結果とあわせて
\(s = 1 +\sqrt{3} t\) のとき, \(t \leqq 2 +\sqrt{3}\) なので \[ s \leqq 1 +\sqrt{3} \left( 2 +\sqrt{3} \right) = 2 \left( 2 +\sqrt{3} \right) \]
\(s = 1 -\sqrt{3} t\) のとき, \(t \leqq 2 -\sqrt{3}\) なので \[ s \geqq 1 -\sqrt{3} \left( 2 -\sqrt{3} \right) = 2 \left( 2 -\sqrt{3} \right) \]
したがって \[ 2 \left( 2 -\sqrt{3} \right) \leqq s \leqq 2 \left( 2 +\sqrt{3} \right) \] よって, [6] より \[ \begin{gather} \dfrac{\sqrt{3}}{2} \left( 2 -\sqrt{3} \right) \leqq S \leqq \dfrac{\sqrt{3}}{2} \left( 2 +\sqrt{3} \right) \\ \underline{\sqrt{3} -\dfrac{3}{2} \leqq S \leqq \sqrt{3} +\dfrac{3}{2}} \end{gather} \]