\(n\) を \(4\) 以上の整数とする. 正 \(n\) 角形の \(2\) つの頂点を無作為に選び, それらを通る直線を \(l\) とする. さらに, 残りの \(n-2\) 個の頂点から \(2\) つの頂点を無作為に選び, それらを通る直線を \(m\) とする. 直線 \(l\) と \(m\) が平行になる確率を求めよ.

【 解 答 】

\(l\) と \(m\) を選び方は全部で \[ {} _ n \text{C} {} _ 2 \cdot {} _ {n-2} \text{C} {} _ 2 \quad \text{通り} \]

1. 1*　\(n\) が奇数のとき
   \(l\) の選び方は \({} _ n \text{C} {} _ 2\) 通り. \(l\) は, 正 \(n\) 角形の一辺と平行であることに注意すれば, \(m\) が \(l\) と平行となる方法は \[ \dfrac{n-3}{2} \quad \text{通り} \] したがって, 求める確率は \[ \dfrac{{} _ n \text{C} {} _ 2 \cdot \dfrac{n-3}{2}}{{} _ n \text{C} {} _ 2 \cdot {} _ {n-2} \text{C} {} _ 2} = \dfrac{1}{n-2} \]

2. 2*　\(n\) が偶数のとき

   • \(l\) が正 \(n\) 角形の一辺と平行になる方法は \[ \dfrac{n}{2} \cdot \dfrac{n}{2} = \dfrac{n^2}{4} \quad \text{通り} \] このとき, \(m\) が \(l\) と平行となる方法は \[ \dfrac{n-2}{2} \quad \text{通り} \]

   • \(l\) が正 \(n\) 角形の辺と平行にならない方法は \[ {} _ {\frac{n}{2}} \text{C} {} _ 2 = \dfrac{n (n-2)}{4} \quad \text{通り} \] このとき, \(m\) が \(l\) と平行となる方法は \[ \dfrac{n-4}{2} \quad \text{通り} \]

   したがって, 求める確率は \[\begin{align} & \dfrac{\dfrac{n^2}{4} \cdot \dfrac{n-2}{2} +\dfrac{n (n-2)}{4} \cdot \dfrac{n-4}{2}}{{} _ n \text{C} {} _ 2 \cdot {} _ {n-2} \text{C} {} _ 2} \\ & \qquad = \dfrac{n +(n-4)}{2 (n-1) (n-3)} \\ & \qquad = \dfrac{n-2}{(n-1) (n-3)} \end{align}\]

以上より, 求める確率は \[ \underline{\left\{ \begin{array}{ll} \dfrac{1}{n-2} & ( \ n \ \text{が奇数のとき} \ ) \\ \dfrac{n-2}{(n-1) (n-3)} & ( \ n \ \text{が偶数のとき} \ ) \end{array} \right.} \]