\(xyz\) 空間において, 原点を中心とする \(xy\) 平面上の半径 \(1\) の円周上を点 P が動き, 点 \(( 0 , 0 , \sqrt{3} )\) を中心とする \(xz\) 平面上の半径 \(1\) の円周上を点 Q が動く.
(1) 線分 PQ の長さの最小値と, そのときの点 P , Q の座標を求めよ.
(2) 線分 PQ の長さの最大値と, そのときの点 P , Q の座標を求めよ.
【 解 答 】
条件より, P , Q の座標は \( 0 \leqq \alpha , \beta \lt 2 \pi\) を用いて
\[
\text{P} \ \left( \cos \alpha , \sin \alpha , 0 \right) , \quad \text{Q} \ \left( \cos \beta , 0 , \sqrt{3} +\sin \beta \right)
\]
したがって
\[\begin{align}
\left| \overrightarrow{\text{PQ}} \right|^2 & = ( \cos \alpha -\cos \beta )^2 +\sin^2 \alpha +( \sqrt{3} +\sin \beta )^2 \\
& = -2 \cos \alpha \cos \beta +2 \sqrt{3} \sin \beta +5
\end{align}\]
\(t = \cos \alpha\) とおけば, \(-1 \leqq t \leqq 1\) .
\(\beta\) を定数とすれば, \(\left| \overrightarrow{\text{PQ}} \right|^2\) は \(t\) の \(1\) 次関数なので, 最大最小の候補は
\[\begin{align}
& \pm 2 \cos \beta +2 \sqrt{3} \sin \beta +5 \\
& \qquad = 4 \left( \sin \beta \cos \dfrac{\pi}{6} \pm \cos \beta \sin \dfrac{\pi}{6} \right) +5\\
& \qquad = 4 \sin \left( \beta \pm \dfrac{\pi}{6} \right) +5
\end{align}\]
これが最大となるのは, \(\beta \pm \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{\pi}{2}\) のときで
\[
( \alpha , \beta ) = \left( \pi , \dfrac{\pi}{3} \right) , \ \left( 0 , \dfrac{2 \pi}{3} \right)
\]
また, 最小となるのは, \(\beta \pm \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{3 \pi}{2}\) のときで
\[
( \alpha , \beta ) = \left( \pi , \dfrac{4 \pi}{3} \right) , \ \left( 0 , \dfrac{5 \pi}{3} \right)
\]
(1)
\[ \underline{\text{P} \ ( \pm 1 , 0 , 0 ) ,\ \text{Q} \ \left( \pm \dfrac{1}{2} , 0 , \dfrac{\sqrt{3}}{2} \right) \quad \text{（複号同順）} \ } \] のとき, 最小値 \[ \underline{1} \]
(2)
\[ \underline{\text{P} \ ( \pm 1 , 0 , 0 ) ,\ \text{Q} \ \left( \mp \dfrac{1}{2} , 0 , \dfrac{3 \sqrt{3}}{2} \right) \quad \text{（複号同順）} \ } \] のとき, 最大値 \[ \underline{3} \]