\(a , b , c\) は異なる \(3\) つの正の整数とする. 次のデータは \(2\) つの科目 X と Y の試験を受けた \(10\) 人の得点をまとめたものである. \[ \begin{array}{c|cccccccccc} & [1] & [2] & [3] & [4] & [5] & [6] & [7] & [8] & [9] & [10] \\ \hline \text{科目 X の得点} & a & c & a & b & b & a & c & c & b & c \\ \hline \text{科目 Y の得点} & a & b & b & b & a & a & b & a & b & a \end{array} \] 科目 X の得点の平均値と科目 Y の得点の平均値とは等しいとする.
(1) 科目 X の得点の分散を \({s _ X}^2\) , 科目 Y の得点の分散を \({s _ Y}^2\) とする. \(\dfrac{{s _ X}^2}{{s _ Y}^2}\) を求めよ.
(2) 科目 X の得点と科目 Y の得点の相関係数を, 四捨五入して小数第 \(1\) 位まで求めよ.
(3) 科目 X の得点の中央値が \(65\) , 科目 Y の得点の標準偏差が \(11\) であるとき, \(a , b , c\) の組を求めよ.
【 解 答 】
(1)
科目 X , Y それぞれの平均値 \(E (X) , E (Y)\) は \[ E(X) = \dfrac{3a+3b+4c}{10} , \quad E(Y) = \dfrac{5a+5b}{10} \] 条件より \(E(X) = E(Y)\) なので \[\begin{align} 3a+3b+4c & = 5a+5b \\ \text{∴} \quad c & = \dfrac{a+b}{2} \quad ... [1] \end{align}\] したがって \[ E(X) = E(Y) = c = \dfrac{a+b}{2} \] これらを用いれば \[\begin{align} {s _ X}^2 & = E \left( X^2 \right) -\left\{ E(X) \right\}^2 \\ & = \dfrac{1}{10} \left( 3a^2 +3b^2 +4c^2 \right) -\left( \dfrac{a+b}{2} \right)^2 \\ & = \dfrac{1}{5} \left( 2a^2 +ab +2b^2 \right) -\dfrac{1}{4} \left( a^2 +2ab +b^2 \right) \\ & = \dfrac{1}{20} \left( 3a^2 -6ab +3b^2 \right) \\ & = \dfrac{3}{20} (a-b)^2 \end{align}\] また \[\begin{align} {s _ Y}^2 & = E \left( Y^2 \right) -\left\{ E(Y) \right\}^2 \\ & = \dfrac{1}{10} \left( 5a^2 +5b^2 \right) -\left( \dfrac{a+b}{2} \right)^2 \\ & = \dfrac{1}{2} \left( a^2 +b^2 \right) -\dfrac{1}{4} \left( a^2 +2ab +b^2 \right) \\ & = \dfrac{1}{4} \left( a^2 -2ab +b^2 \right) \\ & = \dfrac{1}{4} (a-b)^2 \end{align}\] よって \[ \dfrac{{s _ X}^2}{{s _ Y}^2} = \dfrac{\dfrac{3}{20}}{\dfrac{1}{4}} = \underline{\dfrac{3}{5}} \]
(2)
科目 X, Y の得点の共分散を \(s _ {XY}\) とおく.
[1] を用いれば
\[\begin{align}
s _ {XY} & = \dfrac{1}{10} \left( 4 \cdot \dfrac{a-b}{2} \cdot \dfrac{a-b}{2} +2 \cdot \dfrac{a-b}{2} \cdot \dfrac{b-2}{2} +4 \cdot 0 \right) \\
& = \dfrac{1}{20} (a-b)^2
\end{align}\]
(1) の過程より, 科目 X, Y の得点の標準偏差 \(s _ X , s _ Y\) はそれぞれ
\[\begin{align}
s _ X & = \sqrt{{s _ X}^2} = \dfrac{\sqrt{15}}{10} |a-b| \\
s _ Y & = \sqrt{{s _ Y}^2} = \dfrac{1}{2} |a-b| \quad ... [2]
\end{align}\]
したがって, 求める相関係数 \(r\) は
\[
r = \dfrac{s _ {XY}}{s _ {X} s _ {Y}} = \dfrac{\dfrac{1}{20}}{\dfrac{\sqrt{15}}{10} \cdot \dfrac{1}{2}} = \dfrac{\sqrt{15}}{15}
\]
ここで \(3.8 \lt \sqrt{15} \lt 3.9\) なので, 辺々を \(15\) で割ると
\[
0.25 \cdots \lt \dfrac{\sqrt{15}}{15} \lt 2.6
\]
よって, 求める値は
\[
\underline{0.3}
\]
(3)
[1] より, \(c\) は \(a\) と \(b\) の平均値であり, 科目 X の得点 \(a , b , c\) の頻度はそれぞれ \(3 , 3 , 4\) だから, 科目 X の得点の中央値は \[ \dfrac{c+c}{2} = c = 65 \] また \[\begin{align} c = \dfrac{a+b}{2} & = 65 \\ \text{∴} \quad a+b & = 130 \quad ... [3] \end{align}\] 科目 Y の標準偏差が \(11\) なので, [2] より \[\begin{align} s _ Y = \dfrac{1}{2} |a-b| & = 11 \\ \text{∴} \quad |a-b| & = 22 \quad ... [4] \end{align}\] [3] [4] より \[ ( a , b ) = ( 76 , 54 ) , ( 54 , 76 ) \] よって \[ ( a , b , c ) = \underline{( 76 , 54 , 65 ) , ( 54 , 76 , 65 )} \]