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\(1\) 個のいびつなさいころがある. \(1, 2, 3, 4\) の目が出る確率はそれぞれ \(\dfrac{p}{2}\) であり, \(5, 6\) の目が出る確率はそれぞれ \(\dfrac{1-2p}{2}\) である. ただし, \(0 \lt p \lt \dfrac{1}{2}\) とする. このさいころを投げて, \(xy\) 平面上の点 Q を次のように動かす.

1. (i)　\(1\) または \(2\) の目が出たときには, Q を \(x\) 軸の正の方向に \(1\) だけ動かす.

2. (ii)　\(3\) または \(4\) の目が出たときには, Q を \(y\) 軸の正の方向に \(1\) だけ動かす.

3. (iii)　\(5\) または \(6\) の目が出たときには, Q を動かさない.

Q は最初原点 \(( 0 , 0 )\) にある. このさいころを \(( n+1 )\) 回投げ, Q が通った点（原点および Q の最終位置の点を含む）の集合を \(S\) とする. ただし, \(n\) は自然数とする. 次の問いに答えよ.

1. (1)　\(S\) が点 \(( 1 , n-1 )\) を含む確率を求めよ.

2. (2)　\(S\) が領域 \(x+y \lt n\) に含まれる確率を求めよ.

3. (3)　\(S\) が点 \(( k , n-k )\) を含むならば得点 \(2^k\) 点（ \(k = 0 , 1 , \cdots , n\) ）が与えられ, \(S\) が領域 \(x+y \lt n\) に含まれるならば得点 \(0\) 点が与えられるとする. 得点の期待値を求めよ.

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【 解 答 】

(1)

\(1\) 回さいころを投げたときの Q の動きと確率は以下のとおり.

条件をみたすのは以下の \(2\) パターンがある.

1. 1*　Q が点 \(( 1 , n )\) か点 \(( 2 , n-1 )\) で終わる.

2. 2*　Q が点 \(( 1 , n-1 )\) で終わる.

1. 1* となる確率
   \(n\) 回目までに, \(1\) か \(2\) が \(1\) 回, \(3\) か \(4\) が \(n-1\) 回出て, \(n+1\) 回目で, \(1\) ～ \(4\) が出ればよいので \[ {} _ n \text{C} {} _ 1 p \cdot p^{n-1} \cdot 2p = 2np^{n+1} \quad ... [1] \]

2. 2* となる確率
   \(n+1\) 回目までに, \(1\) か \(2\) が \(1\) 回, \(3\) か \(4\) が \(n-1\) 回, \(5\) か \(6\) が \(1\) 回出ればよいので \[ \dfrac{(n+1)!}{1! 1! (n-1)!} p \cdot p^{n-1} \cdot (1-2p) = n(n+1) (1-2p) p^n \quad ... [2] \]

[1] [2] より, 求める確率は \[ 2np^{n+1} + n(n+1) (1-2p) p^n = \underline{n \{1+n(1-2p)\} p^n} \]

(2)

\(5\) か \(6\) が少なくとも \(2\) 回出ればよいので \[\begin{align} \textstyle\sum\limits _ {k=2}^{n+1} & {} _ {n+1} \text{C} {} _ k (1-2p)^k (2p)^{n+1-k} \\ & = \left\{ (1-2p) +2p \right\}^{n+1} -(2p)^{n+1} -{} _ {n+1} \text{C} {} _ 1 (1-2p) (2p)^n \\ & = 1 -(2p)^{n+1} -(n+1)(1-2p) (2p)^n \\ & = 1 -\{ 2p +(n+1)(1-2p) \}(2p)^n \\ & = \underline{1 -\{1+n(1-2p)\}(2p)^n} \end{align}\]

(3)

\(S\) が点 \(( k , n-k )\) を含む確率を, (1) と同様に考える.
条件をみたすのは以下の \(2\) パターンがある.

1. 1*　Q が点 \(( k+1 , n-k )\) か点 \(( k , n+1-k )\) で終わる.

2. 2*　Q が点 \(( k , n-k )\) で終わる.

1. 1* となる確率は \[ {} _ n \text{C} {} _ k p^k \cdot p^{n-k} \cdot 2p = 2 {} _ n \text{C} {} _ k p^{n+1} \quad ... [3] \]

2. 2* となる確率は \[ \dfrac{(n+1)!}{1! k! (n-k)!} p^k \cdot p^{n-k} \cdot (1-2p) = (n+1) {} _ n \text{C} {} _ k (1-2p) p^n \quad ... [4] \]

[3] [4] より \[ 2 {} _ n \text{C} {} _ k p^{n+1} +(n+1) {} _ n \text{C} {} _ k (1-2p) p^n = {} _ n \text{C} {} _ k \{1+n(1-2p)\} p^n \] これを用いれば, 求める期待値は \[\begin{align} \textstyle\sum\limits _ {k=0}^{n} & 2^k \cdot {} _ n \text{C} {} _ k \{1+n(1-2p)\} p^n \\ & = \{1+n(1-2p)\} p^n \cdot \textstyle\sum\limits _ {k=0}^{n} {} _ n \text{C} {} _ k 2^k \cdot 1^{n-k} \\ & = \{1+n(1-2p)\} p^n \cdot (2+1)^n \\ & = \underline{\{1+n(1-2p)\} (3p)^n} \end{align}\]