各項が正の実数である数列 \(\left\{ a _ n \right\}\) が \(a _ 1 = 1\) と関係式 \[ a _ {n+1} - a _ n = \sqrt{n} \left( 1 + \dfrac{1}{a _ n + a _ {n+1}} \right) \quad ( n = 1, 2, 3, \cdots ) \] をみたしている. 次の問いに答えよ.

1. (1)　\(a _ n \geqq \sqrt{n} \quad ( n = 1, 2, 3, \cdots )\) を示せ.

2. (2)　\(\textstyle\sum\limits _ {k=1}^{n-1} \sqrt{k} \leqq \dfrac{2}{3} \left( n^{\frac{3}{2}} -1 \right) \quad ( n = 2, 3, 4, \cdots )\) を示せ.

3. (3)　\(a _ n \leqq \dfrac{2}{3} n^{\frac{3}{2}} + \dfrac{1}{2} n - \dfrac{1}{6} \quad ( n = 1, 2, 3, \cdots )\) を示せ.

【 解 答 】

(1)

条件より \[ a _ {n} \geqq 0 \quad ( n = 1, 2, 3, \cdots ) \quad ... [1] \] 与えられた漸化式の右辺は正なので, \(a _ {n+1} -a _ n \gt 0\) すなわち \[ a _ {n+1} \gt a _ n \quad ( n = 1, 2, 3, \cdots ) \quad ... [2] \] すべての自然数 \(n\) について \[ a _ n \geqq \sqrt{n} \quad ... [\text{A}] \] が成立することを数学的帰納法を用いて示す.

1. 1*　\(n = 1\) のとき
   \(a _ 1 = 1 = \sqrt{1}\) なので, 成立する.

2. 2*　\(n = k \ ( k \geqq 1 )\) のとき, [A] が成立する, すなわち \[ a _ k \geqq \sqrt{k} \quad ... [3] \] と仮定する. \[\begin{align} a _ {k+1} & = a _ k + \sqrt{k} \left( 1 + \dfrac{1}{a _ k + a _ {k+1}} \right) \\ & \gt a _ k + \sqrt{k} \quad \left( \ \text{∵} \ \text{[1]より} \ \dfrac{\sqrt{k}}{a _ k + a _ {k+1}} \gt 0 \ \right) \\ & \geqq 2 \sqrt{k} \quad ( \ \text{∵} \ [3] \ ) \end{align}\] ここで, \[ \left( 2 \sqrt{k} \right)^2 -\left( \sqrt{k+1} \right)^2 = 3k-1 \gt 0 \] すなわち \(2 \sqrt{k} \gt \sqrt{k+1}\) なので \[ a _ {k+1} \gt \sqrt{k+1} \] したがって, \(n = k+1\) のときも [A] が成立する.

1* 2* より, すべての自然数 \(n\) について [A] が成立し, 題意は示された.

(2)

\(y = \sqrt{x}\) のグラフは, \(x \geqq 0\) において, 上に凸で単調増加.

上図の斜線部の面積と, \(y=\sqrt{x}\) , \(x\) 軸, \(x = n\) に囲まれた部分の面積を比較すれば \[\begin{align} \textstyle\sum\limits _ {k=1}^{n-1} \sqrt{k} & \leqq \displaystyle\int _ 0^n \sqrt{x} \, dx = \left[ \dfrac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} \right] _ 0^n \\ & = \dfrac{2}{3} \left( n^{\frac{3}{2}} -1 \right) \\ \text{∴} \quad \textstyle\sum\limits _ {k=1}^{n-1} \sqrt{k} & \leqq \dfrac{2}{3} \left( n^{\frac{3}{2}} -1 \right) \end{align}\]

(3)

(1) の結果より, \(\dfrac{\sqrt{k}}{a _ k} \leqq 1\) ... [4] .
\(n \geqq 2\) のときについて \[\begin{align} a _ n & = a _ 1 +\textstyle\sum\limits _ {k=1}^{n-1} \left( a _ {k+1} -a _ k \right) \\ & = 1 + \textstyle\sum\limits _ {k=1}^{n-1} \left( \sqrt{k} + \dfrac{\sqrt{k}}{a _ k + a _ {k+1}} \right) \\ & \leqq 1 +\textstyle\sum\limits _ {k=1}^{n-1} \sqrt{k} +\textstyle\sum\limits _ {k=1}^{n-1} \dfrac{\sqrt{k}}{2 a _ k} \quad ( \ \text{∵} \ [2] \ ) \\ & \leqq 1 + \dfrac{2}{3} \left( n^{\frac{3}{2}} -1 \right) + \dfrac{1}{2} ( n-1 ) \quad ( \ \text{∵} \ \text{(2)の結果, [4]}\ ) \\ & = \dfrac{2}{3} n^{\frac{3}{2}} + \dfrac{1}{2} n - \dfrac{1}{6} \end{align}\] これは \[ \dfrac{2}{3} \cdot 1 + \dfrac{1}{2} \cdot 1 - \dfrac{1}{6} = 1 = a _ 1 \] なので, \(n=1\) のときにも成立する.
よって \[ \underline{a _ n \leqq \dfrac{2}{3} n^{\frac{3}{2}} + \dfrac{1}{2} n - \dfrac{1}{6}} \]