\(xy\) 平面上の点 \(( x _ 1 , y _ 1 )\) に対して, 点 \(( x _ 2 , y _ 2 ) , ( x _ 3 , y _ 3 ) , \cdots\) を次の式で順に定める. \[ \left( \begin{array}{c} x _ {n+1} \\ y _ {n+1} \end{array} \right) = \left\{ \begin{array}{ll} \left( \begin{array}{cc} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} x _ n \\ y _ n \end{array} \right) & ( \ y _ n \geqq 0 \text{のとき} ) \\ \left( \begin{array}{cc} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} x _ n \\ y _ n \end{array} \right) & ( \ y _ n \lt 0 \text{のとき} ) \end{array} \right. \] 以下の問いに答えよ.
(1) \(( x _ 1 , y _ 1 ) = ( -1 , 2 )\) のとき, \(( x _ 3 , y _ 3 )\) を求めよ.
(2) \(( x _ 1 , y _ 1 ) = ( 1 , 0 )\) のとき, \(( x _ 5 , y _ 5 )\) を求めよ.
(3) \(x _ 1 \gt 0\) かつ \(y _ 1 \gt 0\) のとき, \(( x _ 4 , y _ 4 ) = ( x _ 1 , y _ 1 )\) となることを示せ.
(4) \(( x _ n , y _ n ) = ( x _ 1 , y _ 1 )\) となる \(2\) 以上の整数 \(n\) が存在しないとき, 点 \(( x _ 1 , y _ 1 )\) はどのような範囲にあるかを図示せよ.
【 解 答 】
(1)
\[\begin{align}
\left( \begin{array}{c} x _ {n+1} \\ y _ {n+1} \end{array} \right) & = \left\{ \begin{array}{l} \left( \begin{array}{cc} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} x _ n \\ y _ n \end{array} \right) \\ \left( \begin{array}{cc} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} x _ n \\ y _ n \end{array} \right) \end{array} \right. \\
& = \left\{ \begin{array}{ll} \left( \begin{array}{c} -y _ n \\ x _ n \end{array} \right) & ( \ y _ n \geqq 0 \text{のとき} ) \\ \left( \begin{array}{c} -x _ n \\ -y _ n \end{array} \right) & ( \ y _ n \lt 0 \text{のとき} ) \end{array} \right.
\end{align}\]
これを用いて計算すればよい.
\(y _ 1 \geqq 0\) なので
\[
( x _ 2 , y _ 2 ) = ( -y _ 1 , x _ 1 ) = ( -2 , -1 )
\]
\(y _ 2 \lt 0\) なので
\[
( x _ 3 , y _ 3 ) = ( -x _ 2 , -y _ 2 ) = \underline{( 2 , 1 )}
\]
(2)
\(y _ 1 \geqq 0\) なので \[ ( x _ 2 , y _ 2 ) = ( -y _ 1 , x _ 1 ) = ( 0 , 1 ) \] \(y _ 2 \geqq 0\) なので \[ ( x _ 3 , y _ 3 ) = ( -y _ 2 , x _ 2 ) = ( -1 , 0 ) \] \(y _ 3 \lt 0\) なので \[ ( x _ 4 , y _ 4 ) = ( -x _ 3 , -y _ 3 ) = ( 0 , -1 ) \] \(y _ 4 \lt 0\) なので \[ ( x _ 5 , y _ 5 ) = ( -x _ 4 , -y _ 4 ) = \underline{( 0 , 1 )} \]
(3)
\(y _ 1 \geqq 0\) なので \[ ( x _ 2 , y _ 2 ) = ( -y _ 1 , x _ 1 ) \] \(y _ 2 \geqq 0\) なので \[ ( x _ 3 , y _ 3 ) = ( -y _ 2 , x _ 2 ) = ( -x _ 1 , -y _ 1 ) \] \(y _ 3 \lt 0\) なので \[ ( x _ 4 , y _ 4 ) = ( -x _ 3 , -y _ 3 ) = \underline{( x _ 1 , y _ 1 )} \]
(4)
1* \(x _ 1 \gt 0\) かつ \(y _ 1 \gt 0\) のとき
(3) の結果より, \(n = 3k+1 \ ( k = 1 , 2 , \cdots )\) が存在する.
さらに, このとき \(( x _ 2 , y _ 2 )\) , \(( x _ 3 , y _ 3 )\) にあたる点が, \(( x _ 1 , y _ 1 )\) となった場合も同様のことが生じる.
したがって, 「 \(x _ 1 \lt 0\) かつ \(y _ 1 \gt 0\) 」 , 「 \(x _ 1 \lt 0\) かつ \(y _ 1 \lt 0\) 」 のときも, \(n = 3k+1 \ ( k = 1 , 2 , \cdots )\) が存在する.2* \(x _ 1 \gt 0\) かつ \(y _ 1 \lt 0\) のとき
\(y _ 1 \lt 0\) なので \[ ( x _ 2 , y _ 2 ) = ( -x _ 1 , -y _ 1 ) \] したがって \(x _ 2 \lt 0\) かつ \(y _ 2 \lt 0\) となるため \[\begin{gather} ( x _ {3k+2} , y _ {3k+2} ) = ( x _ 2 , y _ 2 ) , \ ( x _ {3k+3} , y _ {3k+3} ) = ( x _ 3 , y _ 3 ) , \\ ( x _ {3k+4} , y _ {3k+4} ) = ( x _ 4 , y _ 4 ) \quad ( k = 1 , 2 , \cdots ) \end{gather}\] となり, 条件をみたす \(n\) は存在しない.3* \(x _ 1 = 0\) かつ \(y _ 1 \gt 0\) のとき
\(y _ 1 \geqq 0\) なので \[ ( x _ 2 , y _ 2 ) = ( -y _ 1 , 0 ) \] \(y _ 2 \geqq 0\) なので \[ ( x _ 3 , y _ 3 ) = ( -y _ 2 , x _ 2 ) = ( 0 , -y _ 1 ) \] \(y _ 3 \lt 0\) なので \[ ( x _ 4 , y _ 4 ) = ( -x _ 3 , -y _ 3 ) = ( 0 , y _ 1 ) = ( x _ 1 , y _ 1 ) \] したがって, \(n\) が存在する.
さらに, このとき \(( x _ 2 , y _ 2 )\) , \(( x _ 3 , y _ 3 )\) にあたる点が, \(( x _ 1 , y _ 1 )\) となった場合も同様のことが生じる.
ゆえに, 「 \(x _ 1 \lt 0\) かつ \(y _ 1 = 0\) 」 , 「 \(x _ 1 = 0\) かつ \(y _ 1 \lt 0\) 」 のときも, \(n = 3k+1 \ ( k = 1 , 2 , \cdots )\) が存在する.4* \(x _ 1 \gt 0\) かつ \(y _ 1 = 0\) のとき
\(y _ 1 \geqq 0\) なので \[ ( x _ 2 , y _ 2 ) = ( 0 , x _ 1 ) \] したがって \(x _ 2 = 0\) かつ \(y _ 2 \gt 0\) となるため \[\begin{gather} ( x _ {3k+2} , y _ {3k+2} ) = ( x _ 2 , y _ 2 ) , \ ( x _ {3k+3} , y _ {3k+3} ) = ( x _ 3 , y _ 3 ) , \\ ( x _ {3k+4} , y _ {3k+4} ) = ( x _ 4 , y _ 4 ) \quad ( k = 1 , 2 , \cdots ) \end{gather}\] となり, 条件をみたす \(n\) は存在しない.5* \(x _ 1 = y _ 1 = 0\) のとき
\(y _ 1 \geqq 0\) なので \[ ( x _ 2 , y _ 2 ) = ( 0 , 0 ) = ( x _ 1 , y _ 1 ) \] したがって, \(n\) が存在する.
以上, 1* ～ 5* より, 求める範囲は下図斜線部（点線境界, ○は含まない）.
