表の出る確率が \(p \ ( 0 \lt p \lt 1 )\) , 裏が出る確率が \(1-p\) の硬貨がある. \(n\) を自然数とする. この硬貨を \(2n\) 回投げたとき, 表が \(n+1\) 回以上出る確率を \(P _ n\) とする. 以下の問に答えよ.
(1) \(P _ 2 , P _ 3\) を求めよ.
(2) \(P _ 3 \gt P _ 2\) となる \(p\) の範囲を求めよ.
(3) \(P _ {n+1} - P _ n = p^{n+1} ( 1-p )^n ( ap+b )\) となる \(a , b\) を \(n\) を用いて表せ. ただし \(a , b\) は \(p\) を含まないとする.
(4) \(p = \dfrac{7}{16}\) のとき, \(P _ n\) を最大にする \(n\) を求めよ.
【 解 答 】
(1)
\(n = 2\) のとき, \(4\) 回投げて \(3\) 回以上表が出ればよいので \[ P _ 2 = {} _ 4 \text{C} {} _ 3 \, p^3 (1-p) +p^4 = \underline{p^3 (4-3p)} \] \(n = 3\) のとき, \(6\) 回投げて \(4\) 回以上表が出ればよいので \[\begin{align} P _ 3 & = {} _ 6 \text{C} {} _ 4 \, p^4 (1-p)^2 +{} _ 6 \text{C} {} _ 5 \, p^5 (1-p) +p^6 \\ & = p^4 \left\{ 15 (1-p)^2 +6p (1-p) +p^2 \right\} \\ & = \underline{p^4 ( 15 -24p +10p^2 )} \end{align}\]
(2)
\(0 \lt p \lt 1\) なので, \(P _ 3 \gt P _ 2\) より \[\begin{align} p ( 15 -24p +10p^2 ) & \gt 4-3p \\ 5p^3 -12p^2 +9p -2 & \gt 0 \\ ( 1-p )^2 ( 5p-2 ) & \gt 0 \\ \text{∴} \quad p \gt \dfrac{2}{5} & \end{align}\] よって \[ \underline{\dfrac{2}{5} \lt p \lt 1} \]
(3)
確率 \(P _ {n+1}\) を以下のように場合分けして求める.
1* \(2n\) 回までに表が \(n+1\) 回出ている確率を \(Q _ n\) とおくと \[ Q _ n = {} _ {2n} \text{C} {} _ {n+1} \, p^{n+1} (1-p)^{n-1} \] この後 \(2\) 回のうち \(1\) 回でも表が出れば, 表が合計 \(n+2\) 回以上出る.
2* \(2n\) 回までに表が \(n\) 回出ている確率を \(R _ n\) とおくと \[ R _ n = {} _ {2n} \text{C} {} _ {n} \, p^{n} (1-p)^{n} \] この後 \(2\) 回とも表が出れば, 表が合計 \(n+2\) 回以上出る.
3* \(2n\) 回までに表が \(n+2\) 回以上出ている確率は \(P _ n -Q _ n\) であり, この後 \(2\) 回の結果にかかわらず, 表が合計 \(n+2\) 回以上出る.
1* ～ 3* より, \[\begin{align} P _ {n+1} & = \left\{ 1 -(1-p)^2 \right\} Q _ n + p^2 R _ n + \left( P _ n -Q _ n \right) \\ & = P _ n + p^2 R _ n - (1-p)^2 Q _ n \end{align}\] したがって \[\begin{align} P _ {n+1} -P _ n & = {} _ {2n} \text{C} {} _ {n} \, p^{n+2} (1-p)^{n} -{} _ {2n} \text{C} {} _ {n+1} \, p^{n+1} (1-p)^{n+1} \\ & = p^{n+1} (1-p)^n \left\{ {} _ {2n} \text{C} {} _ {n} \, p -{} _ {2n} \text{C} {} _ {n+1} \, (1-p) \right\} \\ & = p^{n+1} (1-p)^n \left( {} _ {2n+1} \text{C} {} _ {n+1} \, p -{} _ {2n} \text{C} {} _ {n+1} \right) \end{align}\] よって \[ \underline{a = {} _ {2n+1} \text{C} {} _ {n+1} , \ b = -{} _ {2n} \text{C} {} _ {n+1}} \]
(4)
(3) の結果を用いれば, \(P _ {n+1} -P _ n \gt 0\) より \[\begin{align} {} _ {2n+1} \text{C} {} _ {n+1} \, p -{} _ {2n} \text{C} {} _ {n+1} & \gt 0 \\ \dfrac{7}{16} \cdot \dfrac{(2n+1)!}{(n+1)! n!} -\dfrac{(2n)!}{(n+1)! (n-1)!} & \gt 0 \\ 7(2n+1) -16n & \gt 0 \\ \text{∴} \quad n \lt \dfrac{7}{2} & \end{align}\] したがって \(P _ n\) の大小は以下の通り. \[ P _ 1 \lt P _ 2 \lt P _ 3 \lt P _ 4 \gt P _ 5 \gt \cdots \] ゆえに求める値は \[ \underline{n = 4} \]