\(a\) を実数とする. 傾きが \(m\) である \(2\) つの直線が, 曲線 \(y = x^3 -3ax^2\) とそれぞれ点 A , 点 B で接している.
(1) 線分 AB の中点を C とする. C は曲線 \(y = x^3 -3ax^2\) 上にあることを示せ.
(2) 直線 AB の方程式が \(y = -x-1\) であるとき, \(a , m\) の値を求めよ.
【 解 答 】
(1)
A , B の \(x\) 座標をそれぞれ \(p , q\) とし, \(f(x) = x^3 -3ax^2\) とおく.
条件より, \(p , q\) は
\[
f'(x) = 3x^2 -6ax = m \ \text{すなわち} \ 3x^2 -6ax -m = 0
\]
の異なる \(2\) 解なので, 解と係数の関係より
\[
p+q = 2a , \ pq = -\dfrac{m}{3} \quad ... [1]
\]
C の座標は \(\left( \dfrac{p+q}{2} , \dfrac{f(p)+f(q)}{2} \right)\) であり
\[\begin{align}
\dfrac{f(p)+f(q)}{2} & = \dfrac{1}{2} \left\{ p^3 +q^3 -3a \left( p^2+q^2 \right) \right\} \\
& = \dfrac{1}{2} \left[ ( p+q )^3 -3pq( p+q ) -3a \left\{ ( p+q )^2 -2pq \right\} \right] \\
& = \dfrac{1}{2} \left\{ 8a^3 -3 \cdot \left( -\dfrac{m}{3} \right) \cdot 2a -3a \left( 4a^2 +2 \cdot \dfrac{m}{3} \right) \right\} \\
& = \dfrac{1}{2} \cdot \left( -4a^2 \right) = -2a^3
\end{align}\]
また
\[\begin{align}
f \left( \dfrac{p+q}{2} \right) & = \left( \dfrac{p+q}{2} \right)^3 -3a \left( \dfrac{p+q}{2} \right)^2 \\
& = \dfrac{1}{8} \cdot 8a^3 -3a \cdot \dfrac{1}{4} \cdot 4a^2 = -2a^3
\end{align}\]
したがって
\[
\dfrac{f(p)+f(q)}{2} = f \left( \dfrac{p+q}{2} \right)
\]
ゆえに, 点Cは \(y = f(x)\) 上に存在する.
(2)
(1) より, C \(\left( a , -2a^3 \right)\) .
C は直線 AB 上にあるので
\[\begin{align}
-2a^3 & = -a-1 \\
2a^3 -a -1 & = 0 \\
( a-1 )( 2a^2 +2a +1 ) & = 0
\end{align}\]
\(2a^2 +2a +1 = 2 \left( a +\dfrac{1}{2} \right)^2 +\dfrac{1}{2} \gt 0\) なので
\[
a = \underline{1}
\]
このとき, \(y = f(x) = x^3 -3x^2\) と \(y = -x -1\) より, \(y\) を消去して
\[\begin{align}
x^3 -3x^2 +x +1 & = 0 \\
( x-1 )( x^2 -2x -1 ) & = 0
\end{align}\]
\(p , q\) は \(x^2 -2x -1 = 0\) の \(2\) 解なので, 解と係数の関係より
\[
pq = -1 \quad ... [2]
\]
[1] [2] より
\[\begin{align}
-\dfrac{m}{3} & = -1 \\
\text{∴} \quad m & = \underline{3}
\end{align}\]