\(0\) 以上の整数 \(a _ 1 , a _ 2\) があたえられたとき, 数列 \(\left\{ a _ n \right\}\) を \[ a _ {n+2} = a _ {n+1} + 6a _ n \] により定める.
(1) \(a _ 1 = 1\) , \(a _ 2 = 2\) のとき, \(a _ {2010}\) を \(10\) で割った余りを求めよ.
(2) \(a _ 2 = 3a _ 1\) のとき, \(a _ {n+4} - a _ n\) は \(10\) の倍数であることを示せ.
【 解 答 】
(1)
\(r _ n \equiv a _ n \ ( \text{mod} \ 10 )\) とすれば
\[
r _ {n+2} \equiv r _ {n+1} + r _ n \quad ( \text{mod} \ 10 )
\]
これを用いると
\[\begin{align}
& \begin{array}{c|cccccccc} n & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ \hline r _ n & 1 & 2 & 8 & 0 & 8 & 8 & 6 & 4 \\ \end{array} \\
& \quad \begin{array}{c|cccccccc} n & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 & 15 & 16 \\ \hline r _ n & 0 & 4 & 4 & 8 & 2 & 0 & 2 & 2 \\ \end{array} \\
& \qquad \begin{array}{c|ccccccc} n & 17 & 18 & 19 & 20 & 21 & 22 & 23 \\ \hline r _ n & 4 & 6 & 0 & 6 & 6 & 2 & 8 \\ \end{array}
\end{align}\]
ここで \(\left( r _ 2 , r _ 3 \right) = \left( r _ {22} , r _ {23} \right)\) なので, 以後 \(\left\{ r _ n \right\}\) は周期 \(20\) で繰返す.
\(2010 = 1 +20 \cdot 100 +9\) なので
\[
r _ {2010} = r _ {10} = 4
\]
したがって, 求める値は \(\underline{4}\) .
(2)
条件より
\[
\begin{array}{c|cccccc} n & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline r _ n & r _ 1 & 3r _ 1 & 9r _ 1 & 7r _ 1 & r _ 1 & 3r _ 1 \\ \end{array}
\]
ここで \(\left( r _ 6 , r _ 5 \right) = \left( r _ 2 , r _ 1 \right)\) なので, 以後 \(\left\{ r _ n \right\}\) は周期 \(4\) で繰返す.
したがって, 自然数 \(k\) に対して
\[
r _ {k+4} -r _ k = 0
\]
ゆえに, 題意は示された.