\(a\) を正の実数とし, 空間内の \(2\) つの円板 \[\begin{align} D _ 1 & = \big\{ (x, y, z) \big| x^2+y^2 \leqq 1 , z=a \big\} , \\ D _ 2 & = \big\{ (x, y, z) \big| x^2+y^2 \leqq 1 , z=-a \big\} \end{align}\] を考える. \(D _ 1\) を \(y\) 軸のまわりに \(180^{\circ}\) 回転して \(D _ 2\) に重ねる. ただし回転は \(z\) 軸の正の部分を \(x\) 軸の正の方向に傾ける向きとする. この回転の間に \(D _ 1\) が通る部分を \(E\) とする. \(E\) の体積を \(V(a)\) とし, \(E\) と \(\big\{ (x, y, z) \big| x \geqq 0 \big\}\) との共通部分の体積を \(W(a)\) とする.
(1) \(W(a)\) を求めよ.
(2) \(\displaystyle\lim _ {a \rightarrow \infty} V(a)\) を求めよ.
【 解 答 】
(1)
対称性から \(y \geqq 0\) の部分について考える.
\(y=k \quad ( 0 \leqq k \leqq 1 )\) における断面積を \(S(k)\) とおくと \[\begin{align} S(k) & = \dfrac{\pi}{2} \left\{ (1+a^2-k^2) -a^2 \right\} \\ & = \dfrac{\pi (1-k^2)}{2} \end{align}\] したがって \[\begin{align} W(a) & = 2 \displaystyle\int _ 0^1 S(y) \, dy \\ & = \pi \left[ y -\dfrac{y^3}{3} \right] _ 0^1 = \underline{\dfrac{2 \pi}{3}} \end{align}\]
(2)
\(E\) のうち \(x \lt 0\) の領域に含まれる部分の体積を \(U(a)\) とおくと \[ 0 \lt U(a) \lt 2 \cdot 2 \cdot 1 \left( \sqrt{1+a^2} -a \right) = \dfrac{4}{\sqrt{1+a^2} +a} \] \(a \rightarrow \infty\) のとき, \(( \text{右辺} ) \rightarrow 0\) なので, はさみうちの原理より \[ \displaystyle\lim _ {a \rightarrow \infty} U(a) =0 \] よって, \(V(a) = W(a) +U(a)\) なので \[ \displaystyle\lim _ {a \rightarrow \infty} V(a) =\underline{\dfrac{2 \pi}{3}} \]