1. (1)　実数 \(x\) が \(-1 \lt x \lt 1\) , \(x \neq 0\) をみたすとき, 次の不等式を示せ. \[ (1-x)^{1-\frac{1}{x}} \lt (1+x)^{\frac{1}{x}} \]

2. (2)　次の不等式を示せ. \[ 0.9999^{101} \lt 0.99 \lt 0.9999^{100} \]

【 解 答 】

(1)

\[\begin{align} & (1-x)^{1-\frac{1}{x}} \lt (1+x)^{\frac{1}{x}} \\ & \Longleftrightarrow \left( 1-\dfrac{1}{x} \right) \log (1-x) \lt \dfrac{1}{x} \log (1+x) \\ & \Longleftrightarrow \left\{ \begin{array}{ll} (x-1) \log (1-x) \lt \log (1+x) & \left( 0 \lt x \lt 1 \text{のとき} \right) \\ (x-1) \log (1-x) \gt \log (1+x) & \left( -1 \lt x \lt 0 \text{のとき} \right) \end{array} \right. \quad ... [\text{＊}] \end{align}\] ゆえに, [＊] を示せばよい.
\(f(x) = \log (1+x) +(1-x) \log (1-x)\) とおくと \[\begin{align} f'(x) & = \dfrac{1}{1+x} -\log (1-x) -1 , \\ f''(x) & = - \dfrac{1}{(1+x)^2} +\dfrac{1}{1-x} \\ & = \dfrac{-(1-x) +(1+x)^2}{(1-x)(1+x)^2} \\ & = \dfrac{x(x+3)}{(1-x)(1+x)^2} \end{align}\] また \[ f'(0) = 1 -\log 1 -1 =0 , \quad f(0) = \log 1 + 1 \cdot \log 1 =0 \] なので, \(-1 \lt x \lt 1\) における \(f(x)\) の増減は下表のようになる. \[ \begin{array}{c|ccccc} x & (-1) & \cdots & 0 & \cdots & (1) \\ \hline f''(x) & & - & 0 & + & \\ \hline f'(x) & & + & 0 & + \\ \hline f(x) & & - & 0 & + & \end{array} \] したがって, [＊] は成立している.
よって, 題意は示された.

(2)

(1) の結果に, \(t = 0.01\) を代入すると \[\begin{align} 0.99^{-99} & \lt 1.01^{100} \\ 0.99^{-99} \cdot 0.99^{100} & \lt \left( 0.99 \cdot 1.01 \right)^{100} \\ \text{∴} \quad 0.99 & \lt 0.9999^{100} \quad ... [1] \end{align}\] また, \(t = -0.01\) を代入すると \[\begin{align} 1.01^{101} & \lt 0.99^{-100} \\ \left( 1.01 \cdot 0.99 \right)^{101} & \lt 0.99^{-100} \cdot 0.99^{101} \\ \text{∴} \quad 0.9999^{101} & \lt 0.99 \quad ... [2] \end{align}\] [1] [2] より, 題意は示された.