\(n\) 枚のカードを積んだ山があり, 各カードには上から順番に \(1\) から \(n\) まで番号がつけられている. ただし, \(n \geqq 2\) とする. このカードの山に対して次の試行を繰り返す. \(1\) 回の試行では, 一番上のカードを取り, 山の一番上にもどすか, あるいはいずれかのカードの下に入れるという操作を行う. これら \(n\) 通りの操作はすべて同じ確率であるとする. \(n\) 回の試行を終えたとき, 最初一番下にあったカード（番号 \(n\) ）が山の一番上にきている確率を求めよ.
【 解 答 】
\(1\) 回の試行で, カードの位置の変化は以下の通りである.
一番上にあるとき
確率 \(\dfrac{1}{n}\) で, 上から \(k\) （ \(1 \leqq k \leqq n\) ）番目になる.上から \(k \ ( 2 \leqq k \leqq n )\) 番目にあるとき
確率 \(\dfrac{k}{n}\) でそのまま, 確率 \(\dfrac{n-k}{n}\) で上から \(k-1\) 番目になる.
カードが上に上がるのは, \(1\) 回の試行で多くても \(1\) 枚分だけなので, 以下の \(2\) 通りの番号 \(n\) のカードの移動について考えればよい.
1* \(n-1\) 回目に一番上となり, \(n\) 回目の後も, 一番上になる.
2* \(k \ ( 1 \leqq k \leqq n-1 )\) 回目のみ位置が変化せず, \(n\) 回目に一番上となる.
1* 2*それぞれの確率を \(P _ 1 , P _ 2\) とおくと \[\begin{align} P _ 1 & = \dfrac{1}{n} \cdots \dfrac{n-1}{n} \cdot \dfrac{1}{n} \\ & = \dfrac{(n-1)!}{n^n} , \\ P _ 2 & = \textstyle\sum\limits _ {k=1}^{n-1} \dfrac{1}{n} \cdots \dfrac{k-1}{n} \cdot \dfrac{n-k}{n} \cdot \dfrac{k}{n} \cdots \dfrac{n-1}{n} \\ & = \dfrac{1}{n} \cdots \dfrac{n-1}{n} \cdot \dfrac{1}{n} \textstyle\sum\limits _ {k=1}^{n-1} (n-k) \\ & = \dfrac{(n-1)!}{n^n} \textstyle\sum\limits _ {k=1}^{n-1} k \\ & = \dfrac{(n-1)!}{n^n} \cdot \dfrac{n(n-1)}{2} \end{align}\] よって, 求める確率 \(P\) は \[ P = P _ 1 +P _ 2 = \underline{\dfrac{(n-1)! \left( n^2-n+2 \right)}{2 n^n}} \]