\(a\) と \(b\) を互いに素, すなわち \(1\) 以外の公約数を持たない正の整数とし, さらに \(a\) は奇数とする. 正の整数 \(n\) に対して整数 \(a _ n , b _ n\) を \(\left( a+b \sqrt{2} \right)^n = a _ n +b _ n \sqrt{2}\) をみたすように定めるとき, 次の (1) , (2) を示せ. ただし \(\sqrt{2}\) が無理数であることは証明なしに用いてよい.
(1) \(a _ 2\) は奇数であり, \(a _ 2\) と \(b _ 2\) は互いに素である.
(2) すべての \(n\) に対して, \(a _ n\) は奇数であり, \(a _ n\) と \(b _ n\) は互いに素である.
【 解 答 】
(1)
\[\begin{align}
\left( a+b \sqrt{2} \right)^2 & = a^2+2b^2 +2ab \sqrt{2} \\
\text{∴} \quad a _ 2 & = a^2 +2b^2 , \ b _ 2 = 2ab
\end{align}\]
\(a^2\) は奇数, \(2b^2\) は偶数なので, \(a _ 2\) は奇数.
また
\[
aa _ 2 -bb _ 2 = a \left( a^2 +2b^2 \right) -b \cdot 2ab = a^3 \quad ... [1]
\]
ここで, \(a _ 2 , b _ 2\) が公約数 \(m\) をもつと仮定すると, [1] より, \(a\) も \(m\) を約数にもち, \(a\) は奇数なので, \(m \geqq 3\) .
しかし, \(2b^2 = a _ 2-a^2\) なので, \(b\) も \(m\) を約数にもつことになり, \(a\) と \(b\) は互いに素という条件に矛盾する.
よって, \(a _ 2\) と \(b _ 2\) は互いに素である.
(2)
\(( a+b \sqrt{2} )^n\) の展開式のうち, \(b \sqrt{2}\) の奇数乗の項, 偶数乗の項をそれぞれ足し合わせたものが \(a _ n\) , \(b _ n \sqrt{2}\) である.
したがって,
\[
( a-b \sqrt{2} )^n = a _ n -b _ n \sqrt{2} \quad ... [2]
\]
これと条件の式を辺々掛け合わせると
\[
\left( a^2 -2b^2 \right)^n = {a _ n}^2 -2{b _ n}^2 \quad ... [3]
\]
ここで, 左辺の \(a^2-2b^2\) は奇数, 右辺の \(2{b _ n}^2\) は偶数なので, \({a _ n}^2\) は奇数.
よって, \(a _ n\) は奇数である.
\[\begin{align}
\left( a+b \sqrt{2} \right)^{n+1} & = \left( a+b \sqrt{2} \right) \left( a _ n+b _ n \sqrt{2} \right) \\
& = aa _ n +2bb _ n +\left( ba _ n +ab _ n \right) \sqrt{2} \\
\text{∴} \quad & \left\{ \begin{array}{l} a _ {n+1} =aa _ n +2bb _ n \\ b _ {n+1} =ba _ n +ab _ n \end{array} \right. \quad ... [4]
\end{align}\]
ここから
\[
2bb _ n =a _ {n+1} -aa _ n , \ ba _ n = b _ {n+1} -ab _ n
\]
なので, [4] に代入して
\[
\left\{ \begin{array}{ll} a _ {n+2} =2aa _ {n+1} -(a^2-2b^2)a _ n \\ b _ {n+2} =2ab _ {n+1} -(a^2-2b^2)b _ n \end{array} \right. \quad ... [5]
\]
ここで, \(a _ n\) と \(b _ n\) , \(a _ {n+1}\) と \(b _ {n+1}\) 各組が互いに素であるとき, \(a _ {n+2}\) と \(b _ {n+2}\) が公約数 \(m\) をもつと仮定する.
[3] より, \(m\) は \(a^2 -2b^2\) の倍数である.
すると, [5] の \(2\) 式について, 左辺は \(a^2-2b^2\) を約数にもつため, \(2aa _ {n+1}\) と \(2ab _ {n+1}\) はともに \(a^2-2b^2\) を約数にもつ.
ここで, \(a\) と \(b\) が互いに素であり, \(a\) が奇数であることから, \(2a\) と \(a^2-2b^2\) は互いに素であり, \(a _ {n+1}\) と \(b _ {n+1}\) がともに \(a^2-2b^2\) を約数にもつことになり, 矛盾する.
したがって, \(a _ n\) と \(b _ n\) , \(a _ {n+1}\) と \(b _ {n+1}\) 各組が互いに素であれば, \(a _ {n+2}\) と \(b _ {n+2}\) も互いに素である.
これと, \(a _ 1\) と \(b _ 1\) , \(a _ 2\) と \(b _ 2\) の各組が互いに素であることから, 帰納的にすべての \(n\) について, \(a _ n\) と \(b _ n\) は互いに素である.