実数 \(a\) に対し, 次の \(1\) 次変換 \[ f(x,y) = \left( ax+(a-2)y , (a-2)x+ay \right) \] を考える. 以下の \(2\) 条件をみたす直線 \(L\) が存在するような \(a\) を求めよ.
(1) \(L\) は点 \((0, 1)\) を通る.
(2) 点 \(Q\) が \(L\) 上にあれば, その \(f\) による \(f(Q)\) も \(L\) 上にある.
【 解 答 】
\(1\) 次変換 \(f\) に対応する行列は \[ \left( \begin{array}{cc} a & a-2 \\ a-2 & a \end{array} \right) \] \(L\) は, 1* \(x = 0\) , 2* \(y = kx+1\) （ \(k\) は実数）の \(2\) つの場合が考えられる.
1* \(x = 0\) のとき
\(L\) 上の点は \(( 0 , t )\) と表せ, これを \(f\) で変換すると \[ \left( \begin{array}{cc} a & a-2 \\ a-2 & a \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\ t \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} (a-2)t \\ at \end{array} \right) \] この点が \(x = 0\) 上にあるので \[ (a-2) t = 0 \] これが \(t\) によらず成立するので \[\begin{align} a-2 & = 0 \\ \text{∴} \quad a & = 2 \end{align}\]2* \(y = kx+1\) のとき
\(L\) 上の点は \(( t , kt+1 )\) と表せ, これを \(f\) で変換すると \[\begin{align} \left( \begin{array}{cc} a & a-2 \\ a-2 & a \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} t \\ kt+1 \end{array} \right) & = \left( \begin{array}{c} at +(a-2)(kt+1) \\ (a-2)t+a(kt+1) \end{array} \right) \\ & = \left( \begin{array}{c} \{ k(a-2)+a \}t+a-2 \\ (ka+a-2)t+a \end{array} \right) \end{align}\] この点が \(y = kx+1\) 上にあるので \[\begin{align} (ka+a-2) t +a = k \{ k(a-2)+a \} t & +k(a-2) +1 \\ (k^2-1)(a-2)t -k(a-2) +a-1 & = 0 \end{align}\] これが \(t\) によらず成立するので \[ \left\{ \begin{array}{ll} (k^2-1)(a-2)=0 & \quad ... [1] \\ -k(a-2) +a-1=0 & \quad ... [2] \end{array} \right. \] [1] より \[ a = 2 \ \text{または} \ k = \pm 1 \]\(a = 2\) のとき, [2] が成立しないので不適.
\(k = 1\) のとき, [2] が成立しないので不適.
\(k = -1\) のとき, [2] より \[\begin{align} 2a-3 & = 0 \\ \text{∴} \quad a & = \dfrac{3}{2} \end{align}\]
1* 2* より, 求める \(a\) の値は \[ a= \underline{\dfrac{3}{2} , 2} \]