\(xyz\) 空間の原点と点 \((1, 1, 1)\) を通る直線を \(\ell\) とする.
(1) \(\ell\) 上の点 \(\left( \dfrac{t}{3} , \dfrac{t}{3} , \dfrac{t}{3} \right)\) を通り \(\ell\) と垂直な平面が, \(xy\) 平面と交わってできる直線の方程式を求めよ.
(2) 不等式 \(0 \leqq y \leqq x(1-x)\) の表す \(xy\) 平面内の領域を \(D\) とする. \(\ell\) を軸として \(D\) を回転させて得られる回転体の体積を求めよ.
【 解 答 】
(1)
\(P \, \left( \dfrac{t}{3} , \dfrac{t}{3} , \dfrac{t}{3} \right)\) を通り, \(\ell\) に垂直な平面を \(H\) とおく.
\(H\) 上の点を \(( x , y, z )\) とおけば,
\[\begin{gather}
1 \cdot \left( x-\dfrac{t}{3} \right) +1 \cdot \left( y-\dfrac{t}{3} \right) +1 \cdot \left( z-\dfrac{t}{3} \right) = 0 \\
\text{∴} \quad x+y+z = t
\end{gather}\]
\(xy\) 平面は \(z = 0\) なので, 代入すれば, 求める方程式は
\[
\underline{x+y=t} \quad ... [1]
\]
(2)
\(C : \ y = x(1-x)\) より, \(y' = 1-2x\) .
\(x = 1\) のときは, \(y' = -1\) .
したがって, 領域 \(D\) と直線 [1] が共有点をもつのは, \(0 \leqq t \leqq 1\) のとき.
このとき, 平面 \(H\) による回転体の断面積 \(S(t)\) とおく.
[1] と \(C\) の交点を \(Q\) , [1] と \(y=0\) との交点を \(R\) とおけば
\[
S(t) = \pi \left( PR^2 -PQ^2 \right)
\]
ここで, [1] と \(C\) の式より
\[\begin{align}
x(1-x) & = t-x \\
x^2-2x+t & = 0 \\
\text{∴} \quad x = 1 & -\sqrt{1-t} \quad ( \ \text{∵} \ 0 \leqq x \leqq 1 ) \\
\text{∴} \quad y = t & -\left( 1 -\sqrt{1-t} \right) = t-1 +\sqrt{1-t}
\end{align}\]
なので, \(Q \ \left( 1 -\sqrt{1-t} , t-1 +\sqrt{1-t} , 0 \right)\) .
また, \(R \, ( t , 0 , 0 )\) なので
\[\begin{align}
PQ^2 & = \left( 1 -\dfrac{t}{3} -\sqrt{1-t} \right)^2 +\left( \dfrac{2t}{3} -1+\sqrt{1-t} \right)^2 +\left( -\dfrac{t}{3} \right)^2 \\
& = \left( 1-\dfrac{t}{3} \right)^2 -\left( 2 -\dfrac{2t}{3} \right) \sqrt{1-t} +(1-t) \\
& \qquad +\left( \dfrac{2t}{3} -1 \right)^2 +\left( \dfrac{4t}{3} -2 \right) \sqrt{1-t} +(1-t) +\dfrac{t^2}{9} \\
& = \dfrac{2t^2}{3} -4t +4 +(2t-4) \sqrt{1-t} , \\
PR^2 & = \left( \dfrac{2t}{3} \right)^2 +\left( -\dfrac{t}{3} \right)^2 +\left( -\dfrac{t}{3} \right)^2 \\
& = \dfrac{2t^2}{3}
\end{align}\]
したがって
\[\begin{align}
S(t) & = \pi \left\{ -4(1-t) -2(t-2) \sqrt{1-t} \right\} \\
& = \pi \left\{ 2 (1-t)^{\frac{3}{2}} -4(1-t) +2 (1-t)^{\frac{1}{2}} \right\}
\end{align}\]
ここで, \(\ell\) を回転軸 \(s\) 軸とすると, 微小部分 \(ds\) は
\[\begin{align}
ds^2 & = \left( \dfrac{t}{3} \right)^2 +\left( \dfrac{t}{3} \right)^2 +\left( \dfrac{t}{3} \right)^2 = \dfrac{dt^2}{3} \\
& \text{∴} \quad ds = \dfrac{dt}{\sqrt{3}}
\end{align}\]
以上より, 求める体積 \(V\) は
\[\begin{align}\
V & = \displaystyle\int _ 0^{\frac{1}{\sqrt{3}}} S(t) \, ds \\
& = \pi \displaystyle\int _ 0^1 \left\{ 2 (1-t)^{\frac{3}{2}} -4(1-t) +2 (1-t)^{\frac{1}{2}} \right\} \dfrac{dt}{\sqrt{3}} \\
& = \dfrac{\pi}{\sqrt{3}} \left[ -\dfrac{4}{5} (1-t)^{\frac{5}{2}} +2(1-t)^2 -\dfrac{4}{3} (1-t)^{\frac{3}{2}} \right] _ 0^1 \\
& = \dfrac{\pi}{\sqrt{3}} \left( \dfrac{4}{5} -2 +\dfrac{4}{3} \right) \\
& = \underline{\dfrac{2 \sqrt{3} \pi}{45}}
\end{align}\]