行列 \(A = \left( \begin{array}{cc} \cos \dfrac{\pi}{3} & -\sin \dfrac{\pi}{3} \\ \sin \dfrac{\pi}{3} & \cos \dfrac{\pi}{3} \end{array} \right)\) の表す \(1\) 次変換を \(f\) とする. 点 P \(( 16\sqrt{3}, 16 )\) をとり, \(\text{P} _ 1 = f( \text{P} )\) , \(\text{P} _ {n+1} = f( \text{P} _ n )\) （ \(n=1, 2, 3, \cdots\) ）とする. 正の整数 \(k\) に対して, 次の条件をみたす領域を \(D _ k\) とする. \[ x \lt 0 , \ y \lt 0 , \ \sqrt{3}x +y \leqq -2^{-k} \] このとき \(D _ k\) に含まれる \(\text{P} _ n\) の個数を \(k\) で表せ.

【 解 答 】

\(A = \left( \begin{array}{cc} \cos \dfrac{\pi}{3} & -\sin \dfrac{\pi}{3} \\ \sin \dfrac{\pi}{3} & \cos \dfrac{\pi}{3} \end{array} \right)\) なので \[ \angle \text{P} _ n\text{OP} _ {n+1} =\dfrac{\pi}{3} , \quad \text{OP} _ {n+1} =\dfrac{1}{2} \text{OP} _ n \] B \(( 1, 0 )\) とおけば, \[ \angle \text{BOP} = \dfrac{\pi}{6} , \quad \text{OP} =32 \] なので \[\begin{align} \angle \text{BOP} _ n & = \dfrac{(2n+1) \pi}{6} , \\ \quad \text{OP} _ n & = 32 \cdot \left( \dfrac{1}{2} \right)^n = 2^{-n+5} \end{align}\]

したがって, \(\text{P} _ n\) が \(x \lt 0 , \ y \lt 0\) の領域に入るのは, \(n= 6 \ell -3 \ ( \ell =1, 2, \cdots )\) のときである.
これらの点 \(\text{P} _ {6 \ell -3}\) はすべて \(y = \dfrac{x}{\sqrt{3}} \ ... [1]\) 上にある.
\(\sqrt{3}x+y +2^{-k} =0\) と [1] は垂直で, 原点との距離は \[ \dfrac{\left| 2^{-k} \right|}{\sqrt{3+1}} = 2^{-k-1} \] ゆえに, 点 \(\text{P} _ {6 \ell -3}\) が \(D _ k\) に含まれる条件は \[\begin{align} 2^{-k-1} & \leqq 2^{-(6 \ell -3)+5} \\ \text{∴} \quad -k-1 & \leqq -6 \ell +8 \\ \text{∴} \quad \ell & \leqq \dfrac{k+9}{6} \end{align}\] よって, 求める個数は \[ \underline{\left[ \dfrac{k+9}{6} \right]} \quad \left( [ \ ] \text{はガウス記号} \right) \]