複素数 \(z\) に対して \[ f(z) = \alpha z +\beta \] とする. ただし, \(\alpha , \beta\) は複素数の定数で \(\alpha \neq 1\) とする. \[ f^1 (z) = f(z) , \quad f^n (z) = f( f^{n-1} (z) ) \quad ( n = 2, 3, \cdots ) \] と定める. 次の問に答えよ.
(1) \(f^n (z)\) を \(\alpha , \beta , z , n\) を用いて表せ.
(2) \(| \alpha | \lt 1\) のとき, すべての複素数 \(z\) に対して \[ \displaystyle\lim _ {n \rightarrow \infty} \left| f^n (z) -\delta \right| = 0 \] が成り立つような複素数の定数 \(\delta\) を求めよ.
(3) \(| \alpha | = 1\) とする. 複素数の列 \(\{ f^n (z) \}\) に少なくとも \(3\) つの異なる複素数が現れるとき, これらの \(f^n (z) \ ( n = 1, 2, \cdots )\) は複素数平面内のある円 \(C _ z\) 上にある. 円 \(C _ z\) の中心と半径を求めよ.
【 解 答 】
(1)
\(f^n(z) = \alpha f^{n-1} (z) +\beta\) を変形すると \[ f^n(z) -\dfrac{\beta}{1 -\alpha} = \alpha \left( f^{n-1} (z) -\dfrac{\beta}{1 -\alpha} \right) \] なので, 数列 \(\left\{ f^n(z) -\dfrac{\beta}{1 -\alpha} \right\}\) は, 初項 \(f^1(z) -\dfrac{\beta}{1 -\alpha} = \alpha z -\dfrac{\alpha \beta}{1 -\alpha}\) , 公比 \(\alpha\) の等比数列なので \[\begin{align} f^n(z) -\dfrac{\beta}{1 -\alpha} &= \alpha^{n-1} \left( \alpha z -\dfrac{\alpha \beta}{1 -\alpha} \right) \\ \text{∴} \quad f^n(z) &= \underline{\alpha^n z +\dfrac{1 -\alpha^n}{1 -\alpha} \beta} \end{align}\]
(2)
\(| \alpha | \lt 0\) のとき \[ \displaystyle\lim _ {n \rightarrow \infty} | \alpha^n | = \displaystyle\lim _ {n \rightarrow \infty} | \alpha |^n = 0 \] なので \[ \displaystyle\lim _ {n \rightarrow \infty} \alpha^n = 0 \] これを用いれば \[\begin{align} \displaystyle\lim _ {n \rightarrow \infty} \left| f^n (z) -\delta \right| & = \left| 0 \cdot z +\dfrac{1 -0}{1 -\alpha} \beta -\delta \right| \\ & = \left| \dfrac{\beta}{1 -\alpha} -\delta \right| = 0 \end{align}\] よって \[ \delta = \underline{\dfrac{\beta}{1 -\alpha}} \]
(3)
\[\begin{align} \left| f^n (z) -\dfrac{\beta}{1 -\alpha} \right| & = \left| \alpha^n z +\dfrac{1 -\alpha^n}{1 -\alpha} \beta -\dfrac{\beta}{1 -\alpha} \right| \\ & = | \alpha |^n \left| z -\dfrac{\beta}{1 -\alpha} \right| \\ & = \left| z -\dfrac{\beta}{1 -\alpha} \right| \quad ( \text{∵} \ | \alpha | = 1 \ ) \end{align}\] よって, \(f^n(z)\) が異なる \(3\) つ以上の複素数をとれば, これらを通るただ \(1\) つの円 \(C_z\) が決まり, 求める中心と半径は \[ \text{中心} : \ \underline{\dfrac{\beta}{1 -\alpha}} , \ \text{半径} : \ \underline{z -\dfrac{\beta}{1 -\alpha}} \]
【 別 解 】
(1)
\(f^n(z) = \alpha^n z +\dfrac{1 -\alpha^n}{1 -\alpha} \beta\) ... [A] が成立することを帰納法を用いて示す.
1* \(n = 1\) のとき
\(f(z) = \alpha z +\beta\) なので, 成立している.2* \(n = k\) のとき, [A] が成立すると仮定すると \[\begin{align} f^{k+1} (z) & = f \left( f^k (z) \right) \\ & = \alpha \left( \alpha^k z +\dfrac{1 -\alpha^k}{1 -\alpha} \beta \right) +\beta \\ & = \alpha^{k+1} z +\dfrac{\alpha -\alpha^{k+1}+( 1 -\alpha )}{1 -\alpha} \beta \\ & = \alpha^{k+1} z +\dfrac{1 -\alpha^{k+1}}{1 -\alpha} \beta \end{align}\] ゆえに, \(n = k+1\) のときも, [A] が成立する.
1* 2* から, 数学的帰納法により, \(n \geqq 1\) について \[ f^n(z) = \underline{\alpha^n z +\dfrac{1 -\alpha^n}{1 -\alpha} \beta} \]