\(\alpha\) を正の実数とする. \(0 \leqq \theta \leqq \pi\) における \(\theta\) の関数 \(f( \theta )\) を, 座標平面上の \(2\) 点 A \(( -\alpha , -3 )\) , P \(( \theta +\sin \theta , \cos \theta )\) 間の距離 AP の \(2\) 乗として定める.

1. (1)　\(0 \lt \theta \lt \pi\) の範囲に \(f'( \theta ) = 0\) となる \(\theta\) がただ \(1\) つ存在することを示せ.

2. (2)　以下が成り立つような \(\alpha\) の範囲を求めよ.

   1. \(0 \leqq \theta \leqq \pi\) における \(\theta\) の関数 \(f( \theta )\) は, 区間 \(0 \lt \theta \lt \dfrac{\pi}{2}\) のある点において最大になる.

【 解 答 】

(1)

条件より \[ f( \theta ) = ( \theta +\sin \theta +\alpha )^2 +( \cos \theta +3 )^2 \] なので \[\begin{align} f'( \theta ) & = 2 ( \theta +\sin \theta +\alpha ) ( 1 +\cos \theta ) -2 ( \cos \theta +3 ) \sin \theta \\ & = 2 ( \theta +\alpha ) ( \cos \theta +1 ) +2 \sin \theta -6 \sin \theta \\ & = 2 \underline{\left\{ ( \theta +\alpha ) ( \cos \theta +1 ) -2 \sin \theta \right\}} _ {[1]} \end{align}\] [1] を \(g( \theta )\) とおいて \[\begin{align} g'( \theta ) & = \cos \theta +1 -( \theta +\alpha ) \sin \theta -2 \cos \theta \\ & = -( \theta +\alpha ) \sin \theta -\cos \theta +1 \ , \\ g''( \theta ) & = -\sin \theta -( \theta +\alpha ) \cos \theta +\sin \theta \\ & = -( \theta +\alpha ) \cos \theta \end{align}\] \(g''( \theta ) = 0\) をとくと, \(\theta +\alpha \gt 0\) なので, \(\theta = \dfrac{\pi}{2}\) .
したがって, \(g'( \theta )\) の増減は下表の通り. \[ \begin{array}{c|ccccc} \theta & 0 & \cdots & \dfrac{\pi}{2} & \cdots & \pi \\ \hline g''( \theta ) & & - & 0 & + & \\ \hline g'( \theta ) & 0 & \searrow & \text{最小} & \nearrow & 2 \end{array} \] ここで \[ g' \left( \dfrac{\pi}{2} \right) = 1 -\dfrac{\pi}{2} -\alpha \lt 0 \] なので, \(g'( \theta ) = 0\) は \(\dfrac{\pi}{2} \lt \theta \lt \pi\) に解 \(\beta\) が \(1\) つ存在する.
\(g( \theta )\) の増減は下表の通り. \[ \begin{array}{c|ccccc} \theta & 0 & \cdots & \beta & \cdots & \pi \\ \hline g'( \theta ) & & - & 0 & + & \\ \hline g( \theta ) & 2 \alpha & \searrow& \text{最小} & \nearrow & 0 \end{array} \] ここで \[ g( \beta ) \lt g( \pi ) = 0 \] なので, \(g( \theta ) = 0\) は \(0 \lt \theta \lt \beta\) に解 \(\gamma\) が \(1\) つ存在する.
よって, \(\gamma\) は \(f'( \theta ) = 0\) のただ \(1\) つの解となり, 題意は示された.

(2)

(1) の結果を用いれば, \(f( \theta )\) の増減は下表の通り. \[ \begin{array}{c|ccccc} \theta & 0 & \cdots & \gamma & \cdots & \pi \\ \hline f'( \theta ) & & + & 0 & - & \\ \hline f( \theta ) & & \nearrow & \text{最大} & \searrow & \end{array} \] したがって, \(\theta = \gamma\) で \(f( \theta )\) は最大となる.
\(f'( \theta )\) の増減に着目すれば, \(0 \lt \gamma \lt \dfrac{\pi}{2}\) となる条件を考えればよく \[\begin{align} f' \left( \dfrac{\pi}{2} \right) & = 2 \left( \dfrac{\pi}{2} +\alpha -2 \right) \lt 0 \\ \text{∴} \quad & \underline{0 \lt \alpha \lt 2 -\dfrac{\pi}{2}} \end{align}\]