【 解 答 】

(1)

与式について \[ ( \text{右辺} ) = x^4 +( p +r -p^2 ) x^2 +p (r-q) x +qr \] 両辺の係数を比較して \[ \left\{ \begin{array}{ll} p +r -p^2 = 0 & ... [1] \\ p (r-q) = b & ... [2] \\ qr = c & ... [3] \end{array} \right. \] [1] [2] より \[ q+r = p^2 \ , \ r-q = \dfrac{b}{p} \] 辺々の和と差をとって \(2\) で割れば \[ q = \underline{\dfrac{1}{2} \left( p^2 -\dfrac{b}{p} \right)} \ , \ r = \underline{\dfrac{1}{2} \left( p^2 +\dfrac{b}{p} \right)} \]

(2)

[3] と (1) の結果より \[ qr = \dfrac{1}{4} \left( p^4 -\dfrac{b^2}{p^2} \right) = c \] \(b , c\) の式を代入し, 両辺を \(4p^2\) 倍して \[\begin{align} p^6 -( a^2 +1 )^2 (a+2)^2 = -( 4a+3 ) ( a^2 +1 ) & p^2 \\ p^6 +( 4a+3 ) ( a^2 +1 ) p^2 -( a^2 +1 )^2 (a+2)^2 & = 0 \\ \{ p^2 -( a^2 +1 ) \} \{ p^4 +( a^2 +1 ) p^2 +( a^2 +1 ) (a+2)^2 \} & = 0 \end{align}\] よって, 求める組は \[ f(t) = \underline{t^2 +1} \ , \ g(t) = \underline{( t^2 +1 ) (a+2)^2} \]

(3)

(2) で定めた \(b , c\) に対して, 与えられた恒等式をみたすものを求めればよい.

1. 1*　\(p = 0\) のとき
   [2] より, \(b = 0\) なので \[\begin{align} b & = ( a^2 +1 ) (a+2) = 0 \\ & \text{∴} \quad a = -2 \end{align}\] また, [1] より \(r = -q\) で, [3] より \(c = -q^2\) なので \[ c = -\left( -2 +\dfrac{3}{4} \right) \cdot 5 = \dfrac{25}{4} = -q^2 \] これをみたす \(q\) は存在しないので, 不適.
2. 2*　\(p \neq 0\) のとき
   (2) の式が成立し, \(f(a) \gt 0\) , \(g(a) \gt 0\) なので, (2) の式を解けば \[ p^2 -a^2 = (p+a) (p-a) = 1 \] \(a\) は整数なので \(p\) も整数であり, これをとくと \[ ( p , a ) = ( \pm 1 , 0 ) \] このとき \[ b = 2 \ , \ c = \dfrac{3}{4} \] また, (1) の結果より \[\begin{align} q & = \dfrac{1}{2} \left( 1 \pm 2 \right) = \dfrac{3}{2} , -\dfrac{1}{2} \ , \\ r & = \dfrac{1}{2} \left( 1 \mp 2 \right) = -\dfrac{1}{2} , \dfrac{3}{2} \quad ( \ \text{複号同順} \ ) \end{align}\] なので, \(p , q\) も有理数となる.
   ※このとき, 以下のように因数分解できる. \[ x^4 +2x -\dfrac{3}{4} = \left( x^2 -x +\dfrac{3}{2} \right) \left( x^2 +x -\dfrac{1}{2} \right) \]

以上より, 求める値は \[ a = \underline{0} \]