\(a , b , c\) を実数とし, O を原点とする座標平面において, 行列 \(\left( \begin{array}{cc} a & 1 \\ b & c \end{array} \right)\) によって表される \(1\) 次変換を \(T\) とする. この \(1\) 次変換 \(T\) が \(2\) つの条件
(i) 点 \(( 1 , 2 )\) を点 \(( 1 , 2 )\) に移す.
(ii) 点 \(( 1 , 0 )\) と点 \(( 0 , 1 )\) が \(T\) によって点 A, B にそれぞれ移るとき, △OAB の面積が \(\dfrac{1}{2}\) である.
を満たすとき, \(a , b , c\) を求めよ.
【 解 答 】
条件 (i) より \[ \left( \begin{array}{cc} a & 1 \\ b & c \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array} \right) \] なので \[\begin{align} a+2 = 1 & , \ b+2c = 2 \\ \text{∴} \quad a = -1 & , \ b = 2( 1-c ) \quad ... [1] \end{align}\] 条件 (ii) について \[\begin{align} \left( \begin{array}{cc} -1 & 1 \\ 2( 1-c ) & c \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array} \right) & = \left( \begin{array}{c} -1 \\ 2( 1-c ) \end{array} \right) \\ \left( \begin{array}{cc} -1 & 1 \\ 2( 1-c ) & c \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array} \right) & = \left( \begin{array}{c} 1 \\ c \end{array} \right) \end{align}\] なので \[\begin{align} \dfrac{1}{2} \left| -1 \cdot c -2( 1-c ) \cdot 1 \right| & = \dfrac{1}{2} \\ | c-2 | & = 1 \\ \text{∴} \quad c & = 1 , 3 \end{align}\] これを [1] に代入すれば求める解は \[ ( a , b , c ) = \underline{(-1 , 0 , 1 ) , ( -1 , -4 , 3 )} \]