\(0\) から \(9\) までの相異なる整数が \(1\) つずつ書かれた \(10\) 個の球が, 袋の中に入っている. この袋から球を無作為に \(1\) 個取り出してはもとにもどす操作を \(3\) 回繰り返したとき, 取り出した球に書かれている数を順に \(a_1 , a_2 , a_3\) とする. また \(b_1 = 10 +a_1\) , \(b_2 = 20 +a_2\) , \(b_3 = 30 +a_3\) とおき, \(b_1 , b_2 , b_3 , b_1 +b_2 +b_3\) の \(1\) の位を四捨五入してえられる数をそれぞれ \(c_1 , c_2 , c_3 , c_4\) とする. このとき以下の各問いに答えよ.
(1) \(b_1 +b_2 +b_3 = 70\) となる確率を求めよ.
(2) \(c_4 = 90\) となる確率を求めよ.
(3) \(c_1 = 20\) かつ \(c_1 +c_2 +c_3 \gt c_4\) となる確率を求めよ.
【 解 答 】
(1)
\(a_1 , a_2 , a_3\) の数の選び方は \(10^3 = 1000\) 通り.
\(S = a_1 +a_2 +a_3\) とおくと, 条件より \(S = 10\) .
これをみたす \(a_1\) ～ \(a_3\) の選び方は, \(10\) 個の〇と \(2\) 本の｜を並べる方法を考え, このうち \(3\) つの数が \(\{ 10 , 0 , 0 \}\) となる \(3\) 通りを除いた方法に等しく
\[
{} _ {12} \text{C}{} _ {2} -3 = \dfrac{12 \cdot 11}{2} -3 = 63 \ \text{通り}
\]
よって, 求める確率は
\[
\underline{\dfrac{63}{1000}}
\]
(2)
条件より, \(S\) は四捨五入して \(30\) となる, すなわち \(25 \leqq S \leqq 27\) .
\(S = 27\) となるのは, \(1\) 通り.
\(S = 26\) となるのは, \(3\) つの数が \(\{ 9 , 9 , 8 \}\) となるときで, \(3\) 通り.
\(S = 25\) となるのは, \(3\) つの数が \(\{ 9 , 9 , 7 \} , \{ 9 , 8 , 8 \}\) となるときで, \(3+3 = 6\) 通り.
よって, 求める確率は \[ \dfrac{1 +3 +6}{1000} = \underline{\dfrac{1}{100}} \]
(3)
\(c_1 = 20\) より, \(5 \leqq a_1 \leqq 9\) ... [1] .
\(c_1 , c_2 , c_3\) のうち切上げとなる個数を \(U\) , \(S\) を四捨五入した数を \(R\) とすれば, \(c_1 +c_2 +c_3 \gt c_4\) となるのは
\[
U \gt \dfrac{R}{10}\quad ... [2]
\]
[1] より, \(1 \leqq U \leqq 3\) なので, 場合分けして考える.
1* \(U = 1\) のとき
\(5+0+0 = 5 \leqq S \leqq 17 = 9+4+4\) なので, \(R = 1 , 2\) .
ゆえに [2] は成立しない.2* \(U = 2\) のとき
\(5+5+0 = 10 \leqq S \leqq 22 = 9+9+4\) なので, \(R = 1 , 2\) .
ゆえに [2] が成立するのは \[ 10 \leqq S \leqq 14 \] \(S = 10 , \cdots , 14\) それぞれについて, これをみたす \(a_1\) ～ \(a_3\) の選び方は, \(a_2 , a_3\) のいずれかが切上げとなり, \(S -10\) 個の〇と \(2\) 本の｜を並べる方法を考えればよいので \[\begin{align} & 2 \left( {} _ {2} \text{C}{} _ {2} +{} _ {3} \text{C}{} _ {2} +{} _ {4} \text{C}{} _ {2} +{} _ {5} \text{C}{} _ {2} +{} _ {6} \text{C}{} _ {2} \right) \\ & \quad = 2 ( 1 +3 +6 +10 +15 ) = 70 \ \text{通り} \end{align}\]3* \(U = 3\) のとき
\(5+5+5 = 15 \leqq S \leqq 27 = 9+9+9\) なので, \(R = 2 , 3\) .
ゆえに [2] が成立するのは \[ 15 \leqq S \leqq 24 \] (2) の経過を用いれば, これをみたす \(a_1\) ～ \(a_3\) の選び方は \[ 5^3 -10 = 115 \ \text{通り} \]
以上より, 求める確率は \[\begin{align} \dfrac{70 +115}{1000} = \underline{\dfrac{37}{200}} \end{align}\]