\(a , h\) を正の実数とし, \(xyz\) 空間の \(5\) 点 A \(( a , a , 0 )\) , B \(( -a , a , 0 )\) , C \(( -a , -a , 0 )\) , D \(( a , -a , 0 )\) , E \(( 0 , 0 , h )\) を頂点とする四角錐を \(P\) とする. \(P\) の \(yz\) 平面による断面の周の長さが \(1\) であるとき, 以下の各問いに答えよ.
(1) \(h\) を \(a\) の式で表せ. また, \(a\) が取り得る値の範囲を求めよ.
(2) 球 \(S\) は \(P\) のすべての面に接しているとする. \(a\) が (1) で求めた範囲を動くとき, \(S\) の体積が最大となる \(a\) の値を求めよ.
(3) 直方体 \(Q\) は \(1\) つの面が \(xy\) 平面上にあり, すべての頂点が \(P\) の辺上または面上にあるとする. \(a\) を固定したとき, \(Q\) の体積が取り得る値の最大値を \(V(a)\) とおく. \(a\) が (1) で求めた範囲を動くとき, \(V(a)\) の最大値を求めよ.
【 解 答 】
(1)
条件より \[\begin{align} 2 \sqrt{a^2 +h^2} +2a & = 1 \\ a^2 +h^2 & = \left( \dfrac{1}{2} -a \right)^2 \\ \text{∴} \quad h^2 & = \dfrac{1}{4} -a \end{align}\] \(a \gt 0\) , \(h \gt 0\) なので, \(a\) のとりうる値の範囲は \[ \underline{0 \lt a \lt \dfrac{1}{4}} \] また \[ h = \underline{\dfrac{\sqrt{1 -4a}}{2}} \]
(2)
F \(( 0 , a , 0 )\) とし, \(S\) の中心を P, \(S\) と EF の接点を Q とする.
\[
\text{EF} = \sqrt{a^2 -a +\dfrac{1}{4}} = \dfrac{1}{2} -a
\]
\(S\) の半径を \(r\) とおけば
\[
\text{EP} = h-r \ , \ \text{PQ} = r
\]
\(\triangle \text{EOF} \sim \triangle \text{EQP}\) なので
\[\begin{align}
\left( \dfrac{\sqrt{1 -4a}}{2} -r \right) : r & = \left( \dfrac{1}{2} -a \right) : a \\
r \left( \dfrac{1}{2} -a \right) & = a \left( \dfrac{\sqrt{1 -4a}}{2} -r \right) \\
\text{∴} \quad r & = a \sqrt{1 -4a}
\end{align}\]
\(S\) の体積が最大となるのは, \(r\) が最大となるときで, \(f(a) = r^2 = a^2 ( 1 -4a )\) とおいて最大となるときを考えればよい.
\[
f'(a) = 2a -12a^2 = 2a ( 1 -6a )
\]
したがって, \(f(a)\) の増減は下表の通り.
\[
\begin{array}{c|ccccc} a & (0) & \cdots & \dfrac{1}{6} & \cdots & \left( \dfrac{1}{4} \right) \\ \hline f'(a) & & + & 0 & - & \\ \hline f(a) & & \nearrow & \text{最大} & \searrow & \end{array}
\]
よって, 求める \(a\) の値は
\[
a = \underline{\dfrac{1}{6}}
\]
(3)
\(z = t h \ ( 0 \lt t \lt 1 )\) 平面上に \(Q\) の面があるとき, この面の面積が最大となればよく, これは \(P\) の断面と一致するときである.
その面積は
\[
( 2a )^2 \cdot \dfrac{( h -th )^2}{h^2} = 4a^2 ( 1-t )^2
\]
このとき, \(Q\) の体積 \(V\) は
\[\begin{align}
V & = 4a^2 ( 1-t )^2 \cdot t h \\
& = 2 a^2 \sqrt{1 -4a} \cdot \underline{t (1-t)^2} _ {[1]}
\end{align}\]
\(g(t) = [1]\) とおくと
\[
g'(t) = (1-t)^2 -2t (1-t) = (1-t) ( 1 -3t )
\]
したがって, \(g(t)\) の増減は下表の通り.
\[
\begin{array}{c|ccccc} t & (0) & \cdots & \dfrac{1}{3} & \cdots & (1) \\ \hline g'(t) & & + & 0 & - & \\ \hline g(t) & & \nearrow & \text{最大} & \searrow & \end{array}
\]
したがって, \(g \left( \dfrac{1}{3} \right) = \dfrac{1}{3} \left( \dfrac{2}{3} \right)^2 = \dfrac{4}{27}\) なので
\[
V(a) = \dfrac{8}{27} \underline{a^2 \sqrt{1 -4a}} _ {[2]}
\]
\(h(a) = [2]^2\) とおくと
\[
h'(a) = 4 a^3 -20 a^4 = 4a^3 ( 1 -5a )
\]
したがって, \(h(a)\) の増減は下表の通り.
\[
\begin{array}{c|ccccc} a & (0) & \cdots & \dfrac{1}{5} & \cdots & \left( \dfrac{1}{4} \right) \\ \hline h'(a) & & + & 0 & - & \\ \hline h(a) & & \nearrow & \text{最大} & \searrow & \end{array}
\]
よって, \(h \left( \dfrac{1}{5} \right) = \dfrac{1}{5^5}\) なので, 求める最大値は
\[
V \left( \dfrac{1}{5} \right) = \dfrac{8}{27} \sqrt{\dfrac{1}{5^5}} = \underline{\dfrac{8 \sqrt{5}}{3375}}
\]