\(p , q\) を定数とし, \(0 \lt p \lt 1\) とする. \[\begin{align} \text{曲線} \ C_1 \ & : \ y = p x^{\frac{1}{p}} \quad ( x \gt 0 ) \quad \text{と, } \\ \text{曲線} \ C_2 \ & : \ y = \log x +q \quad ( x \gt 0 ) \end{align}\] が, ある \(1\) 点 \(( a , b )\) において同じ直線に接するとする. 曲線 \(C_1\) , 直線 \(x = a\) , 直線 \(x = e^{-q}\) および \(x\) 軸で囲まれた図形の面積を \(S_1\) とする. また, 曲線 \(C_2\) , 直線 \(x = a\) および \(x\) 軸で囲まれた図形の面積を \(S_2\) とする.
(1) \(q\) を \(p\) を用いて表せ.
(2) \(S_1 , S_2\) を \(p\) を用いて表せ.
(3) \(\dfrac{S_2}{S_1} \geqq \dfrac{3}{4}\) であることを示せ. ただし, \(2.5 \lt e \lt 3\) を用いてよい.
【 解 答 】
(1)
\(0 \lt p \lt 1\) より, \(\dfrac{1}{p} \gt 1\) .
\(C_1\) の式より
\[
y' = p \cdot \dfrac{1}{p} x^{\frac{1}{p} -1} = x^{\frac{1}{p} -1}
\]
なので, 点 \(( a , b )\) における接線の式は
\[\begin{align}
y & = a^{\frac{1}{p} -1} ( x-a ) +p a^{\frac{1}{p}} \\
& = a^{\frac{1}{p} -1} x -( 1-p ) a^{\frac{1}{p}} \quad ... [1]
\end{align}\]
\(C_2\) の式より
\[
y' = \dfrac{1}{x}
\]
なので, 点 \(( a , b )\) における接線の式は
\[\begin{align}
y & = \dfrac{1}{a} ( x-a ) +\log a +q \\
& = \dfrac{1}{a} x +\log a +q -1 \quad ... [2]
\end{align}\]
[1] [2] が一致するので
\[
\left\{ \begin{array}{ll} a^{\frac{1}{p} -1} = \dfrac{1}{a} & ... [3] \\ -( 1-p ) a^{\frac{1}{p}} = \log a +q -1 & ... [4] \end{array} \right.
\]
[3] より
\[\begin{align}
a^{\frac{1}{p}} & = 1 \\
\text{∴} \quad a & = 1
\end{align}\]
[4] に代入して
\[\begin{align}
p-1 & = q-1 \\
\text{∴} \quad q & = \underline{p}
\end{align}\]
(2)
\(a = 1\) より, \(b = p\) .
\(0 \lt p \lt 1\) より, \(\dfrac{1}{e} \lt e^{-p} \lt 1\) .
したがって
\[\begin{align}
S_1 & = \displaystyle\int _ {e^{-p}}^{1} p x^{\frac{1}{p}} \, dx \\
& = p \left[ \dfrac{1}{\frac{1}{p} +1} x^{\frac{1}{p} +1} \right] _ {e^{-p}}^{1} \\
& = \underline{\dfrac{p^2}{p+1} \left( 1 -e^{-p-1} \right)}
\end{align}\]
また
\[\begin{align}
S_2 & = \displaystyle\int _ {e^{-p}}^{1} ( \log x +p ) \, dx \\
& = \left[ x ( \log x -1) +px \right] _ {e^{-p}}^{1} \\
& = -1 +p +e^{-p} ( p+1 ) -p e^{-p} \\
& = \underline{e^{-p} +p -1}
\end{align}\]
(3)
\(S_1 \gt 0\) なので, 示したい式を変形すると
\[
4 S_2 -3 S_1 \geqq 0 \quad ... [\text{A}]
\]
なので, これを示せばよい.
\[\begin{align}
4 S_2 -3 S_1 & = 4 \left( e^{-p} +p -1 \right) -\dfrac{3 p^2}{p+1} \left( 1 -e^{-p-1} \right) \\
& = \dfrac{4 ( p+1 ) \left( e^{-p} +p -1 \right) -3 p^2 ( 1 -e^{-p-1} )}{p+1} \\
& = \dfrac{\left( \dfrac{3}{e} p^2 +4p +4 \right) e^{-p} +p^2 -4}{p+1} \\
& \gt \dfrac{( p+2 )^2 e^{-p} +( p+2 ) ( p-2 )}{p+1} \quad \left( \ \text{∵} \ \dfrac{3}{e} \gt 1 \ \right) \\
& = \dfrac{p+2}{p+1} \underline{\left\{ (p+2) e^{-p} +p-2 \right\}} _ {[5]}
\end{align}\]
[5] を \(f(p)\) とおくと, \(f(p) \gt 0\) を示せばよい.
\[\begin{align}
f'(p) & = e^{-p} -( p+2 ) e^{-p} +1 \\
& = -( p+1 ) e^{-p} +1 \ , \\
f''(p) & = -e^{-p} +( p+1 ) e^{-p} =p e^{-p} \gt 0
\end{align}\]
したがって, \(f'(p)\) は単調増加し
\[
f'(p) \gt f'(0) = -1 +1 = 0
\]
したがって, \(f(p)\) は単調増加し
\[
f(p) \gt f(0) = 2 -2 = 0
\]
よって, [A] が示されて題意も示された.