O を原点とする \(xy\) 平面において, 点 A \(( -1 , 0 )\) と点 B \(( 2 , 0 )\) をとる. 円 \(x^2 +y^2 = 1\) の, \(x \geqq 0\) かつ \(y \geqq 0\) を満たす部分を \(C\) とし, また点 B を通り \(y\) 軸に平行な直線を \(\ell\) とする. \(2\) 以上の整数 \(n\) に対し, 曲線 \(C\) 上に点 P, Q を \[ \angle \text{POB} = \dfrac{\pi}{n} \ , \ \angle \text{QOB} = \dfrac{\pi}{2n} \] を満たすようにとる. 直線 AP と直線 \(\ell\) の交点を V とし, 直線 AQ と直線 \(\ell\) の交点を W とする. 線分 AP, 線分 AQ および曲線 \(C\) で囲まれた図形の面積を \(S(n)\) とする. また線分 PV, 線分 QW, 曲線 \(C\) および線分 VW で囲まれた図形の面積を \(T(n)\) とする.
(1) \(\displaystyle\lim_{n \rightarrow \infty} n \{ S(n) +T(n) \}\) を求めよ.
(2) \(\displaystyle\lim_{n \rightarrow \infty} \dfrac{T(n)}{S(n)}\) を求めよ.
【 解 答 】
(1)
点 A は円 \(x^2 +y^2 =1\) 上の点なので, 円周角の定理より \[ \angle \text{PAQ} = \angle \text{QAB} = \dfrac{\pi}{4n} \] \(\text{BV} = 3 \tan \dfrac{\pi}{2n}\) , \(\text{BW} = 3 \tan \dfrac{\pi}{4n}\) なので \[\begin{align} S(n) +T(n) & = \triangle \text{VWA} \\ & = \dfrac{1}{2} \left( 3 \tan \dfrac{\pi}{2n} -3 \tan \dfrac{\pi}{4n} \right) \cdot 3 \\ & = \dfrac{9}{2} \left( \tan \dfrac{\pi}{2n} -\tan \dfrac{\pi}{4n} \right) \end{align}\] よって \[\begin{align} n \{ S(n) +T(n) \} & = \dfrac{9}{2} \left( \dfrac{\pi}{2} \cdot \dfrac{\sin \dfrac{\pi}{2n}}{\dfrac{\pi}{2n}} \cdot \dfrac{1}{\cos \dfrac{\pi}{2n}} -\dfrac{\pi}{4} \cdot \dfrac{\sin \dfrac{\pi}{4n}}{\dfrac{\pi}{4n}} \cdot \dfrac{1}{\cos \dfrac{\pi}{4n}} \right) \\ & \rightarrow \dfrac{9}{2} \left( \dfrac{\pi}{2} \cdot 1 \cdot 1 -\dfrac{\pi}{4} \cdot 1 \cdot 1 \right) \quad ( \ n \rightarrow \infty \ \text{のとき} \ ) \\ & = \dfrac{9 \pi}{8} \end{align}\] すなわち \[ \displaystyle\lim_{n \rightarrow \infty} n \{ S(n) +T(n) \} = \underline{\dfrac{9 \pi}{8}} \]
(2)
\[\begin{align} S(n) & = \triangle \text{AOP} +( \text{扇形 OPQ} ) -\triangle \text{OPQ} \\ & = \dfrac{1}{2} \cdot 1 \cdot \sin \dfrac{\pi}{n} -\dfrac{1}{2} \cdot 1^2 \cdot \dfrac{\pi}{2n} +\dfrac{1}{2} \cdot 1^2 \cdot \sin \dfrac{\pi}{2n} \\ & = \dfrac{1}{2} \left( \sin \dfrac{\pi}{n} +\sin \dfrac{\pi}{2n} -\dfrac{\pi}{2n} \right) \end{align}\] なので \[\begin{align} n S(n) & = \dfrac{1}{2} \left( \pi \cdot \dfrac{\sin \dfrac{\pi}{n}}{\dfrac{\pi}{n}} +\dfrac{\pi}{2} \cdot \dfrac{\sin \dfrac{\pi}{2n}}{\dfrac{\pi}{2n}} -\dfrac{\pi}{2} \right) \\ & \rightarrow \dfrac{1}{2} \left( \pi +\dfrac{\pi}{2} -\dfrac{\pi}{2} \right) \quad ( \ n \rightarrow \infty \ \text{のとき} \ ) \\ & = \dfrac{\pi}{2} \end{align}\] これと (1) の結果を用いれば \[\begin{align} \dfrac{T(n)}{S(n)} & = \dfrac{n \{ S(n) +T(n) \}}{n S(n)} -1 \\ & \rightarrow \dfrac{\dfrac{9 \pi}{8}}{\dfrac{\pi}{2}} -1 \quad ( \ n \rightarrow \infty \ \text{のとき} \ ) \\ & = \dfrac{5}{4} \end{align}\] すなわち \[ \displaystyle\lim_{n \rightarrow \infty} \dfrac{T(n)}{S(n)} = \underline{\dfrac{5}{4}} \]