トランプのハートとスペードの \(1\) から \(10\) までのカードが \(1\) 枚ずつ総計 \(20\) 枚ある. \(i = 1, 2, \cdots , 10\) に対して, 番号 \(i\) のハートとスペードのカードの組を第 \(i\) 対とよぶことにする. \(20\) 枚のカードの中から \(4\) 枚のカードを無作為に取り出す. 取り出された \(4\) 枚のカードの中に第 \(i\) 対が含まれているという事象を \(A _ i\) で表すとき, 以下の問に答えよ.
(1) 事象 \(A _ 1\) が起こる確率 \(P(A _ 1)\) を求めよ.
(2) 確率 \(P( A _ 1 \cap A _ 2 )\) を求めよ.
(3) 確率 \(P( A _ 1 \cup A _ 2 \cup A _ 3 )\) を求めよ.
(4) 取り出された \(4\) 枚のカードの中に第 \(1\) 対, 第 \(2\) 対, 第 \(3\) 対, 第 \(4\) 対, 第 \(5\) 対, 第 \(6\) 対の中の少なくとも \(1\) つが含まれる確率を求めよ.
【 解 答 】
(1)
\[\begin{align} P( A _ 1 ) & = \dfrac{{} _ {18} \text{C} {} _ 2}{{} _ {20} \text{C} {} _ 4} = \dfrac{\frac{18 \cdot 17}{2!}}{\frac{20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17}{4!}} \\ & = \dfrac{9 \cdot 17}{15 \cdot 19 \cdot 17} = \underline{\dfrac{3}{95}} \end{align}\]
(2)
\[ P( A _ 1 \cap A _ 2 ) = \dfrac{1}{{} _ {20} \text{C} {} _ 4} = \underline{\dfrac{1}{4845}} \]
(3)
相異なる \(1\) 以上 \(10\) 以下の自然数 \(i, j, k\) について \[\begin{align} P( A _ i ) = P( A _ 1 ) & = \dfrac{3}{95} , \\ P( A _ i \cap A _ j ) = P( A _ 1 \cap A _ 2 ) & = \dfrac{1}{4845} , \\ P( A _ i \cap A _ j \cap A _ k) & = 0 \end{align}\] なので \[\begin{align} P( A _ 1 & \cup A _ 2 \cup A _ 3 ) \\ & = P( A _ 1 ) +P( A _ 2 ) +P( A _ 3 ) \\ & \qquad -P( A _ 1 \cap A _ 2 ) -P( A _ 1 \cap A _ 3 ) -P( A _ 2 \cap A _ 3 ) \\ & = 3 \cdot \dfrac{3}{95} -3 \cdot \dfrac{1}{4845} = 3 \cdot \dfrac{9 \cdot 17 -1}{15 \cdot 17 \cdot 19} \\ & = \dfrac{152}{5 \cdot 17 \cdot 19} = \underline{\dfrac{8}{85}} \end{align}\]
(4)
(3) と同様に考えれば, 求める確率は \[\begin{align} P( A _ 1 \cup A _ 2 \cup A _ 3 & \cup A _ 4 \cup A _ 5 \cup A _ 6 ) \\ & = 6 \cdot \dfrac{3}{95} -{} _ 6 \text{C} {} _ 2 \cdot \dfrac{1}{4845} \\ & = \dfrac{6 \cdot 9 \cdot 17 -15}{15 \cdot 17 \cdot 19} =\dfrac{301}{5 \cdot 17 \cdot 19} \\ & = \underline{\dfrac{301}{1615}} \end{align}\]