以下の問に答えよ.
(1) 半径 \(r\) の円に内接し, \(1\) つの対角線の長さが \(l\) であるような四角形の面積の最大値を \(r\) と \(l\) で表せ.
(2) 半径 \(r\) の円に内接する四角形の面積の最大値を求めよ.
(3) 空間内の点 O を頂点とし, 四角形 ABCD を底面とする四角錐（すい）が \(\text{OA} =\text{OB} =\text{OC} =\text{OD} =1\) を満たしているとする. そのような四角錘の体積の最大値を求めよ.
【 解 答 】
(1)
長さ \(l\) の対角線の両端でない \(2\) 点から, 対角線に下した高さを \(a _ 1 , a _ 2\) とおけば, 四角形の面積 \(S\) は
\[
S =\dfrac{1}{2} a _ 1 l +\dfrac{1}{2} a _ 2 l =\dfrac{( a _ 1 +a _ 2 ) l}{2}
\]
\(a _ 1 +a _ 2\) が最大となるとき, \(S\) も最大となり, これは \(2\) 点を結ぶ線分が直径 \(2r\) となるときである.
よって, \(S\) の最大値は
\[
\dfrac{2r \cdot l}{2} = \underline{rl}
\]
(2)
(1) の結果を用いれば, 対角線 \(l\) が最大となるとき, すなわち直径 \(2r\) となるときに, 面積は最大となる.
よって, 面積の最大値は
\[
r \cdot 2r = \underline{2r^2}
\]
(3)
\(4\) 点 A , B , C , D が, 半径 \(r \ ( 0 \lt r \lt 1 )\) の円周上にあると考えることができる.
このとき, 四角錐の高さは \(\sqrt{1 -r^2}\) .
(2) の結果より, 四角形ABCDの面積の最大値は \(2r^2\) なので, 四角錐の体積 \(V\) は
\[
V = \dfrac{1}{3} \cdot 2r^2 \sqrt{1-r^2} = \dfrac{2}{3} \underline{r^2 \sqrt{1-r^2}} _ {\text[A]}
\]
[A] の \(2\) 乗が最大のとき, 体積は最大となる.
\[
\left( r^2 \sqrt{1-r^2} \right)^2 = r^4 (1-r^2)
\]
\(t = r^2\) とすれば, \(f(t) = t^2 (1-t)\) とおける.
\[
f'(t) = 2t -3t^2 = -t (3t-2)
\]
\(f'(t) =0\) を解けば, \(t = \dfrac{2}{3}\) .
\(f(t)\) の増減は下表のようになる.
\[
\begin{array}{c|ccccc} t & (0) & \cdots & \dfrac{2}{3} & \cdots & (1) \\ \hline f'(t) & & + & 0 & - & \\ \hline f(t) & &\nearrow & \text{最大} & \searrow & \end{array}
\]
したがって, \(f(t)\) の最大値は
\[
f \left( \dfrac{2}{3} \right) = \dfrac{4}{9} \cdot \dfrac{1}{3} = \dfrac{4}{27}
\]
よって, \(V\) の最大値は
\[
\dfrac{2}{3} \sqrt{\dfrac{4}{27}} = \underline{\dfrac{4 \sqrt{3}}{27}}
\]