実数 \(a\) に対し, 行列 \(A = \left( \begin{array}{cc} a-1 & a-2 \\ a-2 & 1-a \end{array} \right)\) を考える. \(n\) を自然数とし, 座標平面上において, 行列 \(A^n\) により点 \(( 1, 0 )\) が点 \(\text{P} {} _ n\) に移り, 点 \(( 0, 1 )\) が点 \(\text{Q} {} _ n\) に移るものとする. \(2\) 点 \(\text{P} {} _ n , \text{Q} {} _ n\) の間の距離を \(\text{P} {} _ n \text{Q} {} _ n\) で表す.
(1) \(\text{P} {} _ 1 \text{Q} {} _ 1\) を求めよ.
(2) \(A^n\) を \(a\) と \(n\) を用いて表せ.
(3) \(n\) が固定され, \(a\) が実数全体を動くとき, \(\text{P} {} _ n \text{Q} {} _ n\) の最小値を求めよ.
【 解 答 】
(1)
\(A \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right) = A\) なので \[ \overrightarrow{\text{OP} {} _ 1} = \left( \begin{array}{c} a-1 \\ a-2 \end{array} \right) , \ \overrightarrow{\text{OQ} {} _ 1} = \left( \begin{array}{c} a-2 \\ 1-a \end{array} \right) \] よって \[\begin{align} \text{P} {} _ 1 \text{Q} {} _ 1 & = \sqrt{1^2+(2a-3)^2} = \sqrt{4a^2-12a+10} \\ & = \underline{\sqrt{2 \left( 2a^2-6a+5 \right)}} \end{align}\]
(2) \[\begin{align} \det (A) & = -(a-1)^2 -(a-2)^2 = -\left( 2a^2-6a+5 \right) \\ \text{trace} (A) & = (a-1) -(a-1) = 0 \end{align}\] なので, ハミルトン・ケーリーの定理より \[\begin{gather} A^2 -\left( 2a^2-6a+5 \right) E = O \\ \text{∴} \quad A^2 = \left( 2a^2-6a+5 \right) E \end{gather}\] よって, これを繰り返し用いれば, \(n\) の偶奇で場合分けして \[ A^n = \underline{\left\{ \begin{array}{ll} \left( 2a^2-6a+5 \right)^{\frac{n}{2}} \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right) & \ ( \ n \ \text{が偶数のとき} ) \\ \left( 2a^2-6a+5 \right)^{\frac{n-1}{2}} \left( \begin{array}{cc} a-1 & a-2 \\ a-2 & 1-a \end{array} \right) & \ ( \ n \ \text{が奇数のとき} ) \end{array} \right.} \]
(3)
1* \(n\) が偶数のとき \[\begin{align} \overrightarrow{\text{OP} {} _ n} & = \left( 2a^2-6a+5 \right)^{\frac{n}{2}} \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array} \right) , \\ \overrightarrow{\text{OQ} {} _ n} & = \left( 2a^2-6a+5 \right)^{\frac{n}{2}} \left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array} \right) \\ \text{∴} \quad \text{P} {} _ n\text{Q} {} _ n & = \sqrt{2} \left( 2a^2-6a+5 \right)^\frac{n}{2} \\ & = \sqrt{2 \left( 2a^2-6a+5 \right)^n} \end{align}\]
2* \(n\) が奇数のとき \[\begin{align} \overrightarrow{\text{OP} {} _ n} & = \left( 2a^2-6a+5 \right)^{\frac{n-1}{2}} \left( \begin{array}{c} a-1 \\ a-2 \end{array} \right) , \\ \overrightarrow{\text{OQ} {} _ n} & = \left( 2a^2-6a+5 \right)^{\frac{n-1}{2}} \left( \begin{array}{c} a-2 \\ 1-a \end{array} \right) \\ \text{∴} \quad \text{P} {} _ n\text{Q} {} _ n & = \sqrt{2 \left( 2a^2-6a+5 \right)} \left( 2a^2-6a+5 \right)^\frac{n-1}{2} \\ & = \sqrt{2 \left( 2a^2-6a+5 \right)^n} \end{align}\]
1* 2*より \(n\) の偶奇によらず \[\begin{align} \text{P} {} _ n\text{Q} {} _ n & = \sqrt{2 \left( 2a^2-6a+5 \right)^n} \\ & = \sqrt{2 \left\{ 2 \left( a -\dfrac{3}{2} \right)^2 +\dfrac{1}{2} \right\}^n} \\ & \geqq \sqrt{2 \left( \dfrac{1}{2} \right)^n} \\ & = 2^{\frac{1-n}{2}} \end{align}\] よって, \(a=\dfrac{3}{2}\) のとき, 最小値 \(\underline{2^{\frac{1-n}{2}}}\) をとる.