点 \(P \, ( x, y )\) が双曲線 \(\dfrac{x^2}{2} -y^2 = 1\) 上を動くとき, 点 \(P \, ( x, y )\) と点 \(A \, ( a, 0 )\) との距離の最小値を \(f(a)\) とする.
(1) \(f(a)\) を \(a\) で表せ.
(2) \(f(a)\) を \(a\) の関数とみなすとき, \(ab\) 平面上に曲線 \(b = f(a)\) の概形をかけ.
【 解 答 】
(1)
\(\dfrac{x^2}{2} -y^2 = 1\) は, \(x\) 軸, \(y\) 軸それぞれについて対称なので, \(x \geqq \sqrt{2}\) , \(y \geqq 0\) , \(a \geqq 0\) の場合について考える.
条件より
\[\begin{align}
PA^2 & = (x-a)^2 +y^2 =(x-a)^2 +\dfrac{x^2}{2} -1 \\
& = \dfrac{3a^2}{2} -2ax +a^2-1 \\
& = \dfrac{3}{2} \left( x -\dfrac{2a}{3} \right)^2 +\dfrac{a^2}{3}-1
\end{align}\]
したがって
1* \(\dfrac{2a}{3} \geqq \sqrt{2}\) すなわち \(a \geqq \dfrac{3 \sqrt{2}}{2}\) のとき \[ f(a) = \sqrt{\dfrac{a^2}{3} -1} \]
2* \(\dfrac{2a}{3} \lt \sqrt{2}\) すなわち \(0 \leqq a \lt \dfrac{3 \sqrt{2}}{2}\) のとき \[\begin{align} f(a) & = \sqrt{\dfrac{3}{2} \cdot 2 -2 \sqrt{2} a +a^2 -1} \\ & = \sqrt{a^2 -2 \sqrt{2} a +2} =\sqrt{\left( a -\sqrt{2} \right)^2} \\ & = \left| a -\sqrt{2} \right| \end{align}\]
1* 2*より, \(a \geqq 0\) について \[ f(a) = \left\{ \begin{array}{ll} \left| a -\sqrt{2} \right| & \left( \ 0 \leqq a \lt \dfrac{3 \sqrt{2}}{2} \text{のとき} \right) \\ \sqrt{\dfrac{a^2}{3} -1} & \left( \ \dfrac{3 \sqrt{2}}{2} \leqq a \text{のとき} \right) \end{array} \right. \] さらに \(a \lt 0\) の場合については, \(a\) を \(-a\) に置き換えたものとなるので, 求める関数 \(f(a)\) は \[ f(a) = \underline{\left\{ \begin{array}{ll} \sqrt{\dfrac{a^2}{3} -1} & \left( \ a \leqq -\dfrac{3 \sqrt{2}}{2} \text{のとき} \right) \\ \left| a +\sqrt{2} \right| & \left( \ -\dfrac{3 \sqrt{2}}{2} \lt a \lt 0 \text{のとき} \right) \\ \left| a -\sqrt{2} \right| & \left( \ 0 \leqq a \lt \dfrac{3 \sqrt{2}}{2} \text{のとき} \right) \\ \sqrt{\dfrac{a^2}{3} -1} & \left( \ \dfrac{3 \sqrt{2}}{2} \leqq a \text{のとき} \right) \end{array} \right.} \]
(2)
\(a \geqq \dfrac{3 \sqrt{2}}{2}\) のとき
\[\begin{align}
f(a) -\dfrac{a}{\sqrt{3}} & = -\dfrac{1}{\sqrt{\frac{a^2}{3} -1} +\frac{a}{\sqrt{3}}} \\
& \rightarrow 0 \quad ( \ a \rightarrow \infty \text{のとき} )
\end{align}\]
対称性も考慮すれば, \(b = \pm \dfrac{a}{\sqrt{3}}\) は \(b = f(a)\) の漸近線となる.
これと (1) の結果より, \(b = f(a)\) のグラフは下図のようになる.
