空間内に四面体 ABCD を考える. このとき, \(4\) つの頂点 A, B, C, D を同時に通る球面が存在することを示せ.

【 解 答 】

\(\text{OA} = \text{OB} = \text{OC} = \text{OD}\) をみたす点 O が存在することを示せばよい.
\(2\) 点 A, B から等距離にある点の集合は, AB の中点 M を通り直線 AB に垂直な平面 \(\alpha\) である.
\(3\) 点 A, B, C から等距離にある点の集合は, △ABC の外心 E を通り平面 ABC に垂直な直線 \(\ell\) である.
\(3\) 点 A, B, D から等距離にある点の集合は, △ABD の外心 F を通り平面 ABD に垂直な直線 \(m\) である.
直線 \(\ell , m\) はともに平面 \(\alpha\) 上に存在し, 平面 ABC と平面 ABD は平行でないため \(\ell\) と \(m\) も平行でない.
ゆえに \(\ell\) と \(m\) は \(1\) 点で交わり, この交点が \(4\) 点 A, B, C, D から等距離である点 O となる.
よって, 題意は示された.