正四面体 ABCD を考える. 点 P は時刻 \(0\) では頂点 A に位置し, \(1\) 秒ごとにある頂点から他の \(3\) 頂点のいずれかに, 等しい確率で動くとする. このとき, 時刻 \(0\) から時刻 \(n\) までの間に, \(4\) 頂点 A, B, C, D のすべてに点 P が現れる確率を求めよ. ただし \(n\) は \(1\) 以上の整数とする.

【 解 答 】

明らかに, \(n = 1, 2\) のとき, 確率は \(0\) .
以下では, \(n \geqq 3\) のときについて考える.
時刻 \(n\) まで, \(2\) 頂点のみに現れる確率 \(p _ n\) は, \(2\) 頂点の選び方が \({} _ {3} \text{C} {} _ 1 =3\) 通りであることから \[ p _ n =3 \left( \dfrac{1}{3} \right)^n \] 時刻 \(n\) まで, \(3\) 頂点のみに現れる確率 \(q _ n\) は, 3頂点の選び方が \({} _ {3} \text{C} {} _ 2 =3\) 通りであることから \[\begin{align} q _ n & = 3 \left\{ \left( \dfrac{2}{3} \right)^n -2 \left( \dfrac{1}{3} \right)^n \right\} \\ & = 3 \left( \dfrac{2}{3} \right)^n -6 \left( \dfrac{1}{3} \right)^n \end{align}\] よって, 求める確率は, これらの余事象を考えて \[\begin{align} 1 -p _ n -q _ n & = 1 -3 \left( \dfrac{2}{3} \right)^n +3 \left( \dfrac{1}{3} \right)^n \\ & = \underline{1 -\dfrac{2^n-1}{3^{n-1}}} \end{align}\] これは, \(n = 1, 2\) のときも満たしている.