空間の \(1\) 点 O を通る \(4\) 直線で, どの \(3\) 直線も同一平面上にないようなものを考える. このとき, \(4\) 直線のいずれとも O 以外の点で交わる平面で, \(4\) つの交点が平行四辺形の頂点になるようなものが存在することを示せ.

【 解 答 】

各直線を \(a, b, c, d\) とおく.
どの \(3\) 直線も同一平面上にないので, 直線 \(a\) と \(b\) を含む平面 P と, 直線 \(c\) と \(d\) を含む平面 Q は互いに交わる.
平面 P, Q の交線上にある, 点 O ではない点を M とおけば, 直線 \(a, b\) 上それぞれに点 A, B を, \(\text{AM} = \text{BM}\) となるように定めることができる.
同様に, 直線 \(c, d\) 上それぞれに点 C, D を, \(\text{CM} = \text{DM}\) となるように定めることができる.

このとき, 四角形 ACBD は, 対角線が互いの中点で交わっているので, 平行四辺形である.
よって, 題意は示された.