実数 \(\theta\) が動くとき, \(xy\) 平面上の動点 P \(( 0 , \sin \theta )\) および Q \(( 8 \cos \theta , 0 )\) を考える. \(\theta\) が \(0 \leqq \theta \leqq \dfrac{\pi}{2}\) の範囲を動くとき, 平面内で線分 PQ が通過する部分を \(D\) とする. \(D\) を \(x\) 軸のまわりに \(1\) 回転してできる立体の体積 \(V\) を求めよ.

【 解 答 】

線分 PQ は, \[ \dfrac{x}{8 \cos \theta} +\dfrac{y}{\sin \theta} = 1 \quad ( x \geqq 0 , \ y \geqq 0 ) \] と表せる. \(x=k \ ( 0 \leqq k \leqq 8 )\) と固定すると \[ y = \sin \theta -\dfrac{k \sin \theta}{8 \cos \theta} = \sin \theta -\dfrac{k}{8} \tan \theta \] \(y \geqq 0\) なので, \(\theta \ \left( 0 \leqq \theta \leqq \dfrac{\pi}{2} \right)\) の取りうる値の範囲は \[\begin{align} \sin \theta \left( 1-\dfrac{k}{8 \cos \theta} \right) & \geqq 0 \\ \text{∴} \quad \cos \theta \geqq \dfrac{k}{8} \quad & ( \ \text{∵} \ \sin \theta \geqq 0 \ ) \end{align}\] したがって \[ 0 \leqq \theta \leqq \theta _ 0 \quad \left( \cos \theta _ 0 = \dfrac{k}{8} \right) \] \(\theta\) がこの範囲を動くときの \(y\) の取りうる値の範囲を考える.
\(y = f( \theta )\) とおくと \[\begin{align} f'( \theta ) & = \cos \theta +\dfrac{k}{8 \cos^2 \theta} =\dfrac{8 \cos^3 \theta -k}{8 \cos^2 \theta} \\ & = \dfrac{\left( 2\cos \theta -k^{\frac{1}{3}} \right) \left( 4\cos^2 \theta +2 k^{\frac{1}{3}} \cos \theta +k^{\frac{2}{3}} \right)}{8 \cos^2 \theta} \end{align}\] \(f'( \theta ) =0\) を解くと \[ \cos \theta = \dfrac{k^{\frac{1}{3}}}{2} \] これを満たす \(\theta\) を \(\alpha\) とおけば, \(f( \theta )\) の増減表は下図のようになる. \[ \begin{array}{c|ccccc} \theta & 0 & \cdots & \alpha & \cdots & \theta _ 0 \\ \hline f'( \theta ) & & + & 0 & - & \\ \hline f( \theta ) & 0 & \nearrow & \text{最大} & \searrow & 0 \end{array} \] \[\begin{align} \sin \alpha & = \sqrt{1-\cos^2 \alpha} =\sqrt{1-\dfrac{k^{\frac{2}{3}}}{4}} , \\ \tan \alpha & = \dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha} =\dfrac{2}{k^{\frac{1}{3}}} \sqrt{1-\dfrac{k^{\frac{2}{3}}}{4}} \end{align}\] なので, \[\begin{align} f( \alpha ) & = \sqrt{1-\dfrac{k^{\frac{2}{3}}}{4}} -\dfrac{k}{8} \cdot \dfrac{2}{k^{\frac{1}{3}}} \sqrt{1-\dfrac{k^{\frac{2}{3}}}{4}} \\ & = \left( 1-\dfrac{k^{\frac{2}{3}}}{4} \right)^{\frac{3}{2}} \end{align}\] したがって \[ 0 \leqq f( \theta ) \leqq \left( 1-\dfrac{k^{\frac{2}{3}}}{4} \right)^{\frac{3}{2}} \] 以上より, 求める体積 \(V\) は \[\begin{align} V & = \pi \displaystyle\int _ 0^8 \left\{ f( \theta ) \right\}^2 \, dk =\pi \displaystyle\int _ 0^8 \left( 1-\dfrac{k^{\frac{2}{3}}}{4} \right)^3 \, dk \\ & = \pi \displaystyle\int _ 0^8 \left( 1 -\dfrac{3}{4}k^{\frac{2}{3}} +\dfrac{3}{16}k^{\frac{4}{3}} -\dfrac{1}{64}k^2 \right) \, dk \\ & = \pi \left[ k -\dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{3}{5}k^{\frac{5}{3}} +\dfrac{3}{16} \cdot \dfrac{3}{7}k^{\frac{7}{3}} -\dfrac{1}{64} \cdot \dfrac{1}{3}k^3 \right] _ 0^8 \\ & = \pi \left( 8 -\dfrac{9 \cdot 2^5}{20} +\dfrac{9 \cdot 2^7}{16 \cdot 7} -\dfrac{2^9}{64 \cdot 3} \right) \\ & = \pi \left( 8 -\dfrac{72}{5} +\dfrac{72}{7} -\dfrac{8}{3} \right) \\ & = 8 \pi \left( 1 -\dfrac{9}{5} +\dfrac{9}{7} -\dfrac{1}{3} \right) \\ & = \underline{\dfrac{128 \pi}{105}} \end{align}\]