\(N\) を \(2\) 以上の自然数とする.
(1) 関数 \(f(x) = (N-x) \log x\) を \(1 \leqq x \leqq N\) の範囲で考える. このとき, 曲線 \(y =f(x)\) は上に凸であり, 関数 \(f(x)\) は最大値を \(1\) つだけとる. このことを示せ.
(2) 自然数の列 \(a _ 1 , a _ 2 , \cdots , a _ N\) を \[ a _ n = n^{N-n} \quad ( n =1, 2, \cdots , N ) \] で定める. \(a _ 1 , a _ 2 , \cdots , a _ N\) のうちで最大の値を \(M\) とし, \(M = a _ n\) となる \(n\) の個数を \(k\) とする. このとき \(k \leqq 2\) であることを示せ.
(3) (2) で \(k=2\) となるのは, \(N\) が \(2\) のときだけであることを示せ.
【 解 答 】
(1)
\[\begin{align}
f'(x) & = -\log x +(N-x) \cdot \dfrac{1}{x} \\
& = -\log x +\dfrac{N}{x} -1 , \\
f''(x) & = -\dfrac{1}{x} -\dfrac{N}{x^2} \\
& = -\dfrac{x+N}{x^2} \geqq 0 \quad ( \ \text{∵} \ 1 \leqq x \leqq N \ )
\end{align}\]
よって, \(f(x)\) は \(1 \leqq x \leqq N\) で上に凸である.
また, \(f'(x)\) は, この区間で単調減少し
\[
f(1) = N-1 \gt 0 , \quad f(N) = -\log N \lt 0
\]
なので, \(f'(x) =0\) は解 \(\alpha \ ( 1 \lt \alpha \lt N )\) を \(1\) つだけもつ.
このとき, \(f(x)\) の増減表は下のようになる.
\[
\begin{array}{c|ccccc} x & 1 & \cdots & \alpha & \cdots & N \\ \hline f'(x) & & + & 0 & - & \\ \hline f(x) & & \nearrow & \text{最大} & \searrow & \end{array}
\]
よって, \(f(x)\) は \(1 \leqq x \leqq N\) で \(1\) つの最大値をもつ.
(2)
\(\log a _ n = f(n)\) であり, \(\log x\) は単調増加なので, \(a _ n\) と \(f(n)\) の増減は一致する.
\(x = \alpha\) のとき, \(f(x)\) が最大となり, \(m \leqq \alpha \lt m+1 \ ( m =1, 2, \cdots , N-1 )\) を満たすとすれば, (1) の増減表より, \(a _ n\) の隣接する項の間には
\[
a _ 1 \lt \cdots \lt a _ m , \quad a _ {m+1} \gt \cdots \gt a _ N
\]
が成立する.
よって, 最大値 \(M\) を取りうるのは, \(a _ {m}\) または \(a _ {m+1}\) であり, \(k \leqq 2\) が成立する.
(3)
\(k=2\) すなわち, \(a _ {m} =a _ {m+1}\) が成立するのは
\[\begin{align}
\log a _ {m+1} -\log a _ {m} & = (N-m-1) \log (m+1) -(N-m) \log m \\
& = (N-m-1) \log \dfrac{m+1}{m} +\log m
\end{align}\]
なので
\[
(N-m-1) \log \dfrac{m+1}{m} +\log m = 0 \quad ... [1]
\]
が成立するときである.
[1] が成立するのは, \(\log \dfrac{m+1}{m} \gt 0\) なので
\[\begin{align}
N-m-1 & = 0 \ \text{かつ} \ m = 1 \\
\text{∴} \quad N & = 2 , \ m = 1
\end{align}\]
よって, \(k=2\) となるのは, \(N=2\) のときのみである.