以下の各問いに答えよ. ただし \(t\) は \(0 \lt t \lt \pi\) を満たす実数とする.
(1) 次の等式を証明せよ. \[ \left( \cos \dfrac{t}{2} \right) \left( \cos \dfrac{t}{4} \right) \left( \cos \dfrac{t}{8} \right) = \dfrac{\sin t}{8 \sin \dfrac{t}{8}} \]
(2) 次のように定義される数列 \(\{ a _ n \}\) の極限値 \(\displaystyle\lim _ {n \rightarrow \infty} a _ n\) を \(t\) を用いて表せ. \[ a _ 1 = \cos \dfrac{t}{2} , \ a _ n = a _ {n-1} \left( \cos \dfrac{t}{2^n} \right) \quad ( n =2, 3, \cdots ) \]
(3) 数列 \(\{ b _ n \} , \{ c _ n \}\) を次のように定義する. \[\begin{align} b _ 1 & = \sqrt{\dfrac{1}{2}} , \ b _ n = \sqrt{\dfrac{1 +b _ {n-1}}{2}} \quad ( n = 2, 3, \cdots ) \\ c _ 1 & = \sqrt{\dfrac{1}{2}} , \ c _ n = c _ {n-1} b _ n \quad ( n = 2, 3, \cdots ) \end{align}\] このとき \(\displaystyle\lim _ {n \rightarrow \infty} c _ n\) を求めよ.
【 解 答 】
(1)
\(2\) 倍角の公式を用いれば \[\begin{align} 8 \left( \cos \dfrac{t}{2} \right) & \left( \cos \dfrac{t}{4} \right) \left( \cos \dfrac{t}{8} \right) \left( \sin \dfrac{t}{8} \right) \\ & = 4 \left( \cos \dfrac{t}{2} \right) \left( \cos \dfrac{t}{4} \right) \left( \sin \dfrac{t}{4} \right) \\ & = 2 \left( \cos \dfrac{t}{2} \right) \left( \sin \dfrac{t}{2} \right) \\ & = \sin t \end{align}\] よって, 題意は示された.
(2)
条件より \[ a _ n =\left( \cos \dfrac{t}{2^n} \right) \left( \cos \dfrac{t}{2^{n-1}} \right) \cdots \left( \cos \dfrac{t}{2} \right) \] (1) と同様にすれば, \[ a _ n =\dfrac{\sin t}{2^n \sin \dfrac{t}{2^n}} \] よって, 求める値は \[\begin{align} \displaystyle\lim _ {n \rightarrow \infty} a _ n & = \displaystyle\lim _ {n \rightarrow \infty} \dfrac{\sin t}{t \left( \dfrac{2^n}{t} \sin \dfrac{t}{2^n}\right)} \\ & = \dfrac{\sin t}{t \cdot 1} \quad \left( \ \text{∵} \ n \rightarrow \infty \text{のとき,} \ \dfrac{t}{2^n} \rightarrow 0 \ \right) \\ & = \underline{\dfrac{\sin t}{t}} \end{align}\]
(3)
まず \[ b _ n = \cos \dfrac{\pi}{2^{n+1}} \quad ... [\text{A}] \] となることを数学的帰納法を用いて示す.
1* \(n = 1\) のとき \[ b _ 1 = \sqrt{\dfrac{1}{2}} = \cos \dfrac{\pi}{4} \] なので, [A] は成立する.
2* \(n = k-1 \ ( k \geqq 2 )\) のとき
[A] が成立すると仮定すると \[ a _ {k} = \sqrt{\dfrac{1 +\cos \dfrac{\pi}{2^k}}{2}} = \cos \dfrac{\pi}{2^{k+1}} \] なので, \(n = k\) のときも, [A] は成立する.
よって, すべての自然数 \(n\) について, [A] が成立する.
ここで
\[
c _ 1 = \sqrt{\dfrac{1}{2}} = \cos \dfrac{\pi}{4}
\]
であり
\[
c _ n = c _ {n-1} \left( \cos \dfrac{\pi}{2^{n+1}} \right)
\]
なので, 数列 \(\{ c _ n \}\) は, \(t = \dfrac{\pi}{2}\) とおいた数列 \(\{ a _ n \}\) である.
よって, 求める値は
\[
\displaystyle\lim _ {n \rightarrow \infty} c _ n = \dfrac{\sin \dfrac{\pi}{2}}{\dfrac{\pi}{2}} = \underline{\dfrac{2}{\pi}}
\]