微分可能な関数 \(f(x) , g(x)\) が次の \(4\) 条件を満たしている.
(a) 任意の正の実数 \(x\) について, \(f(x) \gt 0 , \ g(x) \gt 0\)
(b) 任意の実数 \(x\) について, \(f(-x) =f(x) , \ g(-x) = -g(x)\)
(c) 任意の実数 \(x\) , \(y\) について, \(f(x+y) = f(x)f(y) +g(x)g(y)\)
(d) \(\displaystyle\lim _ {x \rightarrow 0} \dfrac{g(x)}{x} = 2\)
このとき以下の各問いに答えよ.
(1) \(f(0)\) および \(g(0)\) を求めよ.
(2) \(\left\{ f(x) \right\}^2 -\left\{ g(x) \right\}^2\) を求めよ.
(3) \(\displaystyle\lim _ {x \rightarrow 0} \dfrac{1-f(x)}{x^2}\) を求めよ.
(4) \(f(x)\) の導関数を \(g(x)\) を用いて表せ.
(5) 曲線 \(y = f(x)g(x)\) , 直線 \(x = a \ ( a \gt 0 )\) および \(x\) 軸で囲まれる図形の面積が \(1\) のとき, \(f(a)\) の値を求めよ.
【 解 答 】
(1)
条件 (b) に \(x=0\) を代入すれば
\[\begin{align}
g(0) & = -g(0) \\
\text{∴} \quad g(0) & = \underline{0}
\end{align}\]
条件 (c) に \(x=y=0\) を代入すれば
\[\begin{align}
f(0) = \left\{ f(0) \right\}^2 & -\left\{ g(0) \right\}^2 = \left\{ f(0) \right\}^2 \\
\text{∴} \quad f(0) & = 0, 1
\end{align}\]
\(f(0)=0\) と仮定すると, 条件 (c) に \(y=0\) を代入すれば
\[
f(x) = f(0) f(x) +g(0) g(x) =0
\]
これは条件 (a) に矛盾するので, 不適.
よって
\[
f(0) = \underline{1}
\]
(2)
条件 (c) に \(y =-x \ ( x \gt 0 )\) を代入すれば, 条件 (b) を用いて \[ f(0) = \left\{ f(x) \right\}^2 -\left\{ g(x) \right\}^2 = \underline{1} \]
(3)
(2) の結果と, 条件 (d) を用いれば \[\begin{align} \dfrac{1 -f(x)}{x^2} & = \dfrac{1 -\left\{ f(x) \right\}^2}{x^2} \cdot \dfrac{1}{1 +f(x)} \\ & = -\left\{ \dfrac{g(x)}{x} \right\}^2 \cdot \dfrac{1}{1 +f(x)} \\ & \rightarrow -2^2 \cdot \dfrac{1}{1+1} = -2 \quad ( \ x \rightarrow 0 \text{のとき} ) \end{align}\] よって \[ \displaystyle\lim _ {x \rightarrow 0} \dfrac{1-f(x)}{x^2} = \underline{-2} \]
(4)
条件 (c) , (d) と (3) の結果を用いれば \[\begin{align} \dfrac{f(x+h) -f(x)}{h} & = \dfrac{f(x)f(h) +g(x)g(h) -f(x)}{h} \\ & = -\dfrac{1 -f(h)}{h^2} \cdot h f(x) +\dfrac{g(h)}{h} g(x) \\ & \rightarrow -(-2) \cdot 0 \cdot f(x) +2 g(x) \quad ( \ h \rightarrow 0 \text{のとき} ) \\ & = 2g(x) \end{align}\] よって \[ f'(x) = \underline{2g(x)} \]
(5)
条件 (a) より, \(f(x)g(x) \gt 0\) なので, 与えられた領域の面積を \(S\) とおくと \[ S =\displaystyle\int _ 0^a f(x) g(x) \, dx \] (4) の結果を用いれば \[\begin{align} S & = \dfrac{1}{4} \displaystyle\int _ 0^a 2 f(x) f'(x) \, dx \\ & = \dfrac{1}{4} \left[ \left\{ f(x) \right\}^2 \right] _ 0^a =\dfrac{\left\{ f(a) \right\}^2 -1}{4} \end{align}\] したがって \[\begin{align} \dfrac{\left\{ f(a) \right\}^2 -1}{4} & = 1 \\ \text{∴} \quad f(a) & = \underline{\sqrt{5}} \quad ( \ \text{∵} \ f(a) \gt 0\ ) \end{align}\]