\(a , b , c\) を正の定数とし, \(x\) の関数 \(y = x^3 +ax^2 +bx +c\) を考える. 以下, 定数はすべて実数とする.
(1) 定数 \(p , q\) に対し, 次をみたす定数 \(r\) が存在することを示せ. \[ x \geqq 1\quad \text{ならば} \quad \left| px +q \right| \leqq rx \]
(2) 恒等式 \(( \alpha -\beta )( \alpha^2 +\alpha \beta +\beta^2 ) = \alpha^3 -\beta^3\) を用いて, 次をみたす定数 \(k , l\) が存在することを示せ. \[ x \geqq 1 \quad \text{ならば} \quad \left| \sqrt[3]{f(x)} -x -k \right| \leqq \dfrac{l}{x} \]
(3) すべての自然数 \(n\) に対して, \(\sqrt[3]{f(n)}\) が自然数であるとする. このとき関数 \(f(x)\) は, 自然数の定数 \(m\) を用いて \(f(x) = ( x+m )^3\) と表されることを示せ.
【 解 答 】
(1)
三角不等式, \(|x| \geqq 1\) を用いれば \[ | px+q | \leqq |px| +|q| \leqq |p|x +|q|x = \left( |p|+|q| \right) x \] なので, \(r = |p|+|q|\) とおけば \[ | px+q | \leqq rx \] が成立する.
(2)
\(\alpha -\beta = \dfrac{\alpha^3 -\beta^3}{\alpha^2 +\alpha \beta +\beta^2}\) であることを用いれば \[ \left| \sqrt[3]{f(x)} -x -k \right| = \left| \dfrac{f(x) -(x+k)^3}{\left\{ f(x) \right\}^{\frac{2}{3}} +(x+k) \left\{ f(x) \right\}^{\frac{1}{3}} +(x+k)^2} \right| \quad ... [1] \] ここで, \(k=\dfrac{a}{3}\) とおけば, [1]の分子は \[\begin{align} f(x) -(x+k)^3 & = x^3 +ax^2 +bx +c -\left( x+\dfrac{a}{3} \right)^3 \\ & = \left( b -\dfrac{a^2}{9} \right) x +c -\dfrac{a^3}{27} \end{align}\] また, \(a , b , c\) はすべて正なので \[ \left\{ f(x) \right\}^{\frac{1}{3}} \geqq x , \ x+k = x+\dfrac{a}{3} \geqq x \] したがって, [1] の分母は \[ \left\{ f(x) \right\}^{\frac{2}{3}} +(x+k) \left\{ f(x) \right\}^{\frac{1}{3}} +(x+k)^2 \geqq 3x^2 \geqq x^2 \] 以上を用いれば, \(p= b -\dfrac{a^2}{9}\) , \(q = c -\dfrac{a^3}{27}\) とおけば \[ [1] \leqq \left| \dfrac{px+q}{x^2} \right| \quad ... [1]' \]
(1) の結果を両辺 \(x^2\) で割れば \[ \left| \dfrac{px+q}{x^2} \right| \leqq \dfrac{r}{x} \] を満たす定数 \(r\) が存在するので, \(l=r\) とおけば \[ [1]' \leqq \dfrac{l}{x} \] となる \(l\) が存在することが示された.
(3)
(2) の結果と, \(\sqrt[3]{f(x)} \geqq x+\dfrac{a}{3}\) を用いれば
\[
0 \leqq \sqrt[3]{f(x)} -x -\dfrac{a}{3} \leqq \dfrac{l}{x} \quad ... [2]
\]
を満たす定数 \(l\) が存在する.
自然数 \(n\) を \(x\) に代入すると,
\[
0 \leqq \sqrt[3]{f(n)} -n -\dfrac{a}{3} \leqq \dfrac{l}{n}
\]
ここで, 両辺 \(n \rightarrow \infty\) のときを考えると, \(\displaystyle\lim _ {n \rightarrow \infty} \dfrac{l}{n} =0\) なので, はさみうちの原理から
\[\begin{align}
\displaystyle\lim _ {n \rightarrow \infty} \left( \sqrt[3]{f(n)} -n -\dfrac{a}{3} \right) & =0 \\
\text{∴} \quad \displaystyle\lim _ {n \rightarrow \infty} \left( \sqrt[3]{f(n)} -n \right) & = \dfrac{a}{3}
\end{align}\]
条件より, 左辺は自然数なので, \(\dfrac{a}{3}\) も自然数となる.
[2] において, \(l\) より大きい \(4\) つの自然数 \(n _ k \ ( k=1, 2, 3, 4 )\) を代入すると
\[\begin{align}
\sqrt[3]{f(n _ k)} -n _ k & -\dfrac{a}{3} = 0 \\
\text{∴} \quad f(n _ k) & = \left( n _ k+\dfrac{a}{3} \right)^3
\end{align}\]
\(f(n)\) は \(3\) つの定数をもつので, \(4\) つの変数について成立する恒等式
\[
f(n) = \left( n+\dfrac{a}{3} \right)^3
\]
は任意の実数に対して成立する.
よって, 自然数 \(m = \dfrac{a}{3}\) とおくことで, 題意は示された.