自然数 \(m , n\) に対して \(f(m,n)\) を \[ f(m,n) = \dfrac{1}{2} \{ (m+n-1)^2 +(m-n+1) \} \] で定める. 以下の問に答えよ.
(1) \(f(m,n) =100\) をみたす \(m\) , \(n\) を \(1\) 組求めよ.
(2) \(a , b , c , d\) は整数で, 等式 \(a^2+b = c^2+d\) をみたすとする. 不等式 \(-a \lt b \leqq a , \ -c \lt d \leqq c\) が成り立つならば, \(a = c , \ b = d\) となることを示せ.
(3) 任意の自然数 \(k\) に対し, \(f(m,n) =k\) をみたす \(m , n\) がただ \(1\) 組だけ存在することを示せ.
【 解 答 】
(1)
条件より \[ (m+n-1)^2 +(m-n+1) =200 \] ここで, \(m+n-1 = 14\) ... [1] とおくと \[ m-n+1 = 4 \quad ... [2] \] [1] [2] を解くと \[ (m,n) = \underline{( 9, 6 )} \]
(2)
与えられた等式を変形すると \[\begin{align} a^2 -c^2 & = d-b \\ \text{∴} \quad (a+c)(a-c) & = d-b \quad ... [3] \end{align}\] 一方, 与えられた不等式より \(a \gt 0 , \ c \gt 0\) であり \[ -(a+c) \lt d-b \lt a+c \] [3] を代入すると \[\begin{align} -(a+c) & \lt (a+c)(a-c) \lt a+c \\ \text{∴} \quad -1 & \lt a-c \lt 1 \end{align}\] \(a-c\) は整数なので \[\begin{align} a-c & = 0 \\ \text{∴} \quad a & = c \end{align}\] [3] に代入すれば \[\begin{align} d-b & = 0 \\ \text{∴} \quad b & = d \end{align}\] よって, 題意は示された.
(3)
\[\begin{align}
(m+n-1)^2 +(m-n+1) & = 2k \\
(m+n-1)^2 +(m+n-1) & = 2(k+n-1) \\
\text{∴} \quad \dfrac{(m+n-1)(m+n)}{2} & = k+n-1
\end{align}\]
\(S _ {\ell} = 0 +1+2+ \cdots +\ell\) （ \(\ell\) は非負整数）とおくと
\[
S _ {m+n-1} = k+n-1 \quad ... [4]
\]
\(S _ {\ell}\) は単調増加数列だから, \(S _ {\ell-1} \lt k \leqq S _ {\ell}\) をみたす自然数 \(\ell\) がただ \(1\) つ存在する.
\(m+n-1 =\ell\) ... [5] とおけば, [4] より
\[\begin{align}
S _ {\ell} & = k +\ell -m \\
\text{∴} \quad m & = k +\ell -S _ {\ell}
\end{align}\]
[5] に代入すれば
\[
n = S _ {\ell}-k +1
\]
よって, \(k\) によって一意に決まる自然数 \(\ell\) も用いて, \((m,n)\) の組はただ \(1\) 組
\[
(m,n) = \left( k +\ell -S _ {\ell} , S _ {\ell}-k +1 \right)
\]
と定まることが示された.