\(f(x)\) はすべての実数 \(x\) において微分可能な関数で, 関係式 \[ f(2x) = ( e^x+1 ) f(x) \] をみたしているとする. 以下の問に答えよ.
(1) \(f(0) =0\) を示せ.
(2) \(x \neq 0\) に対して \[ \dfrac{f(x)}{e^x-1} = \dfrac{f \left( \frac{x}{2} \right)}{e^{\frac{x}{2}}-1} \] が成り立つことを示せ.
(3) 微分の定義を用いて, \(f'(0) = \displaystyle\lim _ {h \rightarrow 0} \dfrac{f(h)}{e^h-1}\) を示せ.
(4) \(f(x) = (e^x-1) f'(0)\) が成り立つことを示せ.
【 解 答 】
(1)
関係式に \(x=0\) を代入すると \[\begin{align} f(0) & = 2 f(0) \\ \text{∴} \quad f(0) & = \underline{0} \end{align}\]
(2)
関係式の両辺に \(e^x-1 ( \neq 0 )\) を掛けると \[\begin{align} (e^x-1) f(2x) & = (e^{2x}-1) f(x) \\ \text{∴} \quad \dfrac{f(2x)}{e^{2x}-1} & = \dfrac{f(x)}{e^x-1} \end{align}\] \(x\) を \(\dfrac{x}{2}\) に置き換えれば \[ \dfrac{f(x)}{e^x-1} = \dfrac{f \left( \frac{x}{2} \right)}{e^{\frac{x}{2}}-1} \]
(3)
\(g(x) = e^x\) とおくと, \(g'(x) =e^x\) . \[ g'(0) = \displaystyle\lim _ {h \rightarrow 0} \dfrac{e^h -1}{h} = e^0 = 1 \] これを用いれば \[\begin{align} f'(0) & = \displaystyle\lim _ {h \rightarrow 0} \dfrac{f(h) -f(0)}{h} = \displaystyle\lim _ {h \rightarrow 0} \dfrac{f(h)}{h} \cdot \dfrac{h}{e^h-1} \\ & = \underline{\displaystyle\lim _ {h \rightarrow 0} \dfrac{f(h)}{e^h-1}} \end{align}\]
(4)
(2) の結果を繰返し用い, (3) の結果を用いれば \[\begin{align} \dfrac{f(x)}{e^x-1} & = \cdots = \displaystyle\lim _ {n \rightarrow \infty} \dfrac{f \left( \frac{x}{2^n} \right)}{e^{\frac{x}{2^n}}-1} \\ & = \displaystyle\lim _ {h \rightarrow 0} \dfrac{f(h)}{e^h-1} = f'(0) \end{align}\] よって \[ f(x) = (e^x-1) f'(0) \]