\(xyz\) 座標空間において, 原点を中心とする半径 \(1\) の球面 S 上に点 N \((0,0,1)\) をとる. また \(0 \lt \theta \lt \pi\) をみたす \(\theta\) に対し, 次の \(2\) つの条件
(a) \(\text{NP} = \text{NQ}\)
(b) \(\angle \text{PNQ} = \theta\)
をみたす S 上の動点 P , Q について, 線分 PQ が通過してできる立体図形 T を考える. 以下の問に答えよ.
(1) 点 P と点 Q の \(z\) 座標は等しいことを示せ.
(2) 点 P が平面 \(z=h\) 上にあるとき, 線分 PQ の長さを \(\theta\) と \(h\) で表せ.
(3) T を平面 \(z=h\) で切ったときの断面の概形を描き, その面積を \(\theta\) と \(h\) で表せ.
(4) \(h\) のとりうる値の範囲に注意して, T の体積 \(V\) を \(\theta\) で表し, \(\theta\) を動かしたときの \(V\) の最大値を求めよ.
【 解 答 】
(1)
△ONP と △ONQ について, OP は共通, OP=OQ , NP=NQ なので \[ \triangle \text{ONP} \equiv \triangle \text{ONQ} \quad ... [1] \] P , Q から ON （すなわち \(z\) 軸）に下ろした垂線の足を \(\text{H} _ 1 , \text{H} _ 2\) とおけば, [1] より \[ \text{OH} _ 1 = \text{OH} _ 2 \] よって, 点 P と Q の \(z\) 座標は等しい.
(2)
H \((0,0,h)\) とおくと \[\begin{align} \text{HN} & = 1-h , \\ \text{HP} & = \text{HQ} = \sqrt{1-h^2} , \\ \text{NP} & = \text{NQ} = \sqrt{\text{HN}^2 +\text{HP}^2} \\ & = \sqrt{(1-h)^2+(1-h^2)} = \sqrt{2(1-h)} \end{align}\] したがって \[ \text{PQ} = 2 \text{NP} \sin \dfrac{\theta}{2} = \underline{2 \sqrt{2(1-h)} \sin \dfrac{\theta}{2}} \]
(3)
\(\text{HP} = R\) , 点 H と線分 PQ の距離を \(r\) とおくと, 断面の概形は下図斜線部のようになる.
ここで, PQ の中点を M とおけば \[ r = \sqrt{\text{HP}^2 -\text{MP}^2} \] よって, 求める面積 \(S\) は \[\begin{align} S & = \pi \left( R^2 -r^2 \right) = \pi \text{MP}^2 \\ & = 2 \pi (1-h) \sin^2 \dfrac{\theta}{2} \\ & = \underline{\pi (1-h)( 1-\cos \theta )} \end{align}\]
(4)
\(h\) が最小となるのは, 線分 PQ が点 N を通る半径 \(1\) の断面上にあるとき.
このときの P の \(z\) 座標は, \(- \cos \theta\) であるから
\[
-\cos \theta \leqq h \leqq 1
\]
したがって, Tの体積 \(V\) は
\[\begin{align}
V & = \displaystyle\int _ {-\cos \theta}^1 \pi (1-h)( 1-\cos \theta ) \, dh \\
& = \pi ( 1-\cos \theta ) \left[ h -\dfrac{h^2}{2} \right] _ {- \cos \theta}^1 \\
& = \dfrac{\pi}{2} ( 1-\cos \theta ) \left( 1 +2\cos \theta +\cos^2 \theta \right) \\
& = \dfrac{\pi}{2} \left( 1 +\cos \theta -\cos^2 \theta -\cos^3 \theta \right)
\end{align}\]
ここで \(c =\cos \theta \ ( -1 \lt c \lt 1 )\) , \(f(c) = 1+c-c^2-c^3\) とおけば
\[
f'(c) = 1-2c-3c^2 = -(3c-1)(c+1)
\]
\(f'(c) =0\) をとくと, \(c =\dfrac{1}{3}\) .
したがって, \(f(c)\) の増減は下表のようになる.
\[
\begin{array}{c|ccccc} c & (-1) & \cdots & \dfrac{1}{3} & \cdots & (1) \\ \hline f'(c) & & + & 0 & - & \\ \hline f(c) & & \nearrow & \text{最大} & \searrow & \end{array}
\]
ゆえに \(f(c)\) の最大値は
\[
f \left( \dfrac{1}{3} \right) = 1+\dfrac{1}{3} -\dfrac{1}{9} -\dfrac{1}{27} = \dfrac{32}{27}
\]
よって, \(V\) の最大値は
\[
\dfrac{\pi}{2} f \left( \dfrac{1}{3} \right) = \underline{\dfrac{16 \pi}{27}}
\]