\(k\) を正の整数とする. \(5n^2-2kn+1 \lt 0\) をみたす整数 \(n\) が, ちょうど \(1\) 個であるような \(k\) をすべて求めよ.
【 解 答 】
\(5n^2-2kn+1 \lt 0\) ... [1] が解をもつのは, 判別式 \(D\) について \[\begin{align} \dfrac{D}{4} = k^2 -5 & \geqq 0 \\ \text{∴} \quad k & \geqq \sqrt{5} \quad ... [2] \end{align}\] このとき, [1] を解くと \[ \dfrac{k -\sqrt{k^2 -5}}{5} \lt n \lt \dfrac{k +\sqrt{k^2 -5}}{5} \quad ... [3] \] この範囲に整数 \(n\) が \(1\) つだけ含まれるための条件は, [3] の幅に着目して \[\begin{align} 0 & \lt \dfrac{k +\sqrt{k^2 -5}}{5} -\dfrac{k -\sqrt{k^2 -5}}{5} \leqq 2 \\ 0 & \lt \sqrt{k^2 -5} \leqq 5 \\ \text{∴} \quad k & \leqq \sqrt{30} \quad ... [4] \end{align}\] [3] [4] より, 条件をみたす \(k\) の候補は \[ k = 3 , 4 , 5 \]
1* \(k = 3\) のとき, [3] より \[\begin{align} \dfrac{3 -\sqrt{4}}{5} & \lt n \lt \dfrac{3 +\sqrt{4}}{5} \\ \text{∴} \quad \dfrac{1}{5} & \lt n \lt 1 \end{align}\] これをみたす整数はないため, 不適.
2* \(k = 4\) のとき, [3] より \[ \dfrac{4 -\sqrt{11}}{5} \lt n \lt \dfrac{4 +\sqrt{11}}{5} \] \(3 \lt \sqrt{11} \lt 4\) なので, これをみたす整数は \(n = 1\) のみ.
3* \(k = 5\) のとき, [3] より \[ \dfrac{5 -\sqrt{20}}{5} \lt n \lt \dfrac{5 +\sqrt{20}}{5} \] \(4 \lt \sqrt{20} \lt 5\) なので, これをみたす整数は \(n = 1\) のみ.
以上より, 求める整数は \[ k = \underline{4 , 5} \]