\(3\) 次方程式 \(x^3+ax^2+bx+c = 0\) は異なる \(3\) つの解 \(p , q , r\) をもつ. さらに \(2p^2-1 , 2q-1 , 2r-1\) も同じ方程式の異なる \(3\) つの解である. \(a , b , c , p , q , r\) の組をすべて求めよ.

【 解 答 】

解と係数の関係より \[ a = -(p+q+r) , \ b = pq+qr+rp , \ c = -pqr \quad ... [1] \] \(\left\{ p , q , r \right\}\) と \(\left\{ 2p^2-1 , 2q-1 , 2r-1 \right\}\) の対応によって, 場合分けして考える.
ただし \[\begin{align} \left\{ \begin{array}{l} q=2q-1 \\ r=2r-1 \end{array} \right. \ \text{すなわち} \ q = r = 1 , \\ \left\{ \begin{array}{l} q=2r-1 \\ r=2q-1 \end{array} \right. \ \text{すなわち} \ q = r = 1 \end{align}\] なので, これらの対応を含む組合せは条件をみたさない.
さらに, \(q\) と \(r\) の対称性を考慮すれば, 以下の \(2\) 通りの組合せについて考えればよい.

1. 1*　\(\left\{ \begin{array}{ll} p = 2q-1 & ... [2] \\ q = 2p^2-1 & ... [3] \\ r = 2r-1 & ... [4] \end{array} \right.\)

2. 2*　\(\left\{ \begin{array}{ll} p = 2q-1 & ... [5] \\ q = 2r-1 & ... [6] \\ r = 2p^2-1 & ... [7] \end{array} \right.\)

3. 1*のとき
   [4] をとくと, \(r = 1\) .
   [3] を [2] に代入すると \[\begin{align} p = 4p^2 & -3 \\ (4p+3)(p-1) & = 0 \\ \text{∴} \quad p = -\dfrac{3}{4} & \quad ( \ \text{∵} \ p \neq r \ ) \end{align}\] [3] より \[ q = 2 \left( -\dfrac{3}{4} \right)^2 -1 = \dfrac{1}{8} \] これらを [1] に代入すれば \[\begin{align} a & = -\left( -\dfrac{3}{4} +\dfrac{1}{8} +1 \right) = -\dfrac{3}{8} , \\ b & = -\dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{1}{8} +\dfrac{1}{8} \cdot 1 +1 \cdot \left( -\dfrac{3}{4} \right) = -\dfrac{23}{32} , \\ c & = -\left( -\dfrac{3}{4} \right) \cdot \dfrac{1}{8} \cdot 1 = \dfrac{3}{32} \end{align}\]

4. 2*のとき
   [7] を [6] に代入すると, \(q = 4p^2-3\) .
   これを [5] に代入すると \[\begin{align} p = 8p^2 & -7 \\ (8p+7)(p-1) & = 0 \\ \text{∴} \quad p = -\dfrac{7}{8} & \end{align}\] したがって \[\begin{align} r & = 2 \left( -\dfrac{7}{8} \right)^2 -1 = \dfrac{17}{32} \\ q & = 2 \cdot \dfrac{17}{32} -1 = \dfrac{1}{16} \end{align}\] これらを [1] に代入すれば \[\begin{align} a & = -\left( -\dfrac{7}{8} +\dfrac{1}{16} +\dfrac{17}{32} \right) = -\dfrac{11}{32} , \\ b & = -\dfrac{7}{8} \cdot \dfrac{1}{16} +\dfrac{1}{16} \cdot \dfrac{17}{32} +\dfrac{17}{32} \left( -\dfrac{7}{8} \right) = -\dfrac{249}{512} , \\ c & = -\left( -\dfrac{7}{8} \right) \cdot \dfrac{1}{16} \cdot \dfrac{17}{32} = \dfrac{119}{4096} \end{align}\]

以上より, 求める組合せは \(q\) と \(r\) を入替えたものも含めて \(4\) 組あり \[\begin{align} (p,q,r,a,b,c) & = \underline{\left( -\dfrac{3}{4} , \dfrac{1}{8} , 1 , -\dfrac{3}{8} , -\dfrac{23}{32} , \dfrac{3}{32} \right) , } \\ & \qquad \underline{\left( -\dfrac{3}{4} , 1 ,\dfrac{1}{8} , -\dfrac{3}{8} , -\dfrac{23}{32} , \dfrac{3}{32} \right) , } \\ & \qquad \quad \underline{\left( -\dfrac{7}{8} , \dfrac{17}{32} , \dfrac{1}{16} , -\dfrac{1}{32} , -\dfrac{249}{512} , \dfrac{119}{4096} \right) , } \\ & \qquad \qquad \underline{\left( -\dfrac{7}{8} , \dfrac{1}{16} , \dfrac{17}{32} , -\dfrac{1}{32} , -\dfrac{249}{512} , \dfrac{119}{4096} \right)} \end{align}\]