\(a\) を正の実数とする. 点 \((x,y)\) が, 不等式 \(x^2 \leqq y \leqq x\) の定める領域を動くとき, 常に \(\dfrac{1}{2} \leqq (x-a)^2+y \leqq 2\) となる. \(a\) の範囲を求めよ.
解答
\(x^2 \leqq y \leqq x\) ... [1] が示す領域 \(D\) は, 下図斜線部.
\(\dfrac{1}{2} \leqq (x-a)^2+y \leqq 2\) ... [2] を変形すると \[ -(x-a)^2 +\dfrac{1}{2} \leqq y \leqq -(x-a)^2 +2 \] ゆえに, [2] が示す領域 \(C\) は \(2\) つの放物線に挟まれた下図斜線部.
以上より, \(D\) が \(C\) が含まれるような, \(a\) の範囲を求めればよい.
\(a\) すなわち \(C\) を作る \(2\) つの放物線を動かすとき, \(D\) を含むかどうかの境界となるのは, 以下の \(2\) つの場合が考えられる.
1* 下の放物線が, \(0 \leqq x \leqq 1\) で \(y=x^2\) と接するとき.
2* 上の放物線の \(x \leqq a\) の部分が, 原点を通るとき.
それぞれの場合の \(a\) の値を求める.
1*について
\[\begin{align} -(x-a)^2+\dfrac{1}{2} & =x^2 \\ 4x^2 -4ax +2a^2 -1 & = 0 \end{align}\] この判別式 \(E\) について \[\begin{align} E = (2a)^2 -4 \left( 2a^2 -1 \right) & = 0 \\ 4a^2 -4 & = 0 \\ \text{∴} \quad a = 1 \end{align}\]2*について
\[\begin{align} 0 = -(0-a)^2 & +2 \\ \text{∴} \quad a & = \sqrt{2} \end{align}\]
よって, 求める \(a\) の範囲は \[ \underline{1 \leqq a \leqq \sqrt{2}} \]